Нормальная форма системы линейных ОДУ, скалярная и векторная (матричная) запись. Задача Коши для нормальной системы линейных ОДУ, её геометрический смысл

Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида: называется линейной системой. В векторной (матричной форме) , где А – матрица системы, b(x)-неоднородность. Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной: Здесь n – порядок системы, x – вещественная независимая переменная, – искомые вещественные функции. Если ввести в рассмотрение вектор-функции: , – (1) векторная форма.

Решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений называется вектор функция , которая определена и непрерывно дифференцируема на промежутке (a,b) и удовлетворяет системе (1) на этом промежутке.

Линейно-зависимые и линейно-независимые системы вектор-функций. Необходимое условие линейной зависимости. Теорема об определителе Вронского решений системы однородных линейных ОДУ.

Функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является на этом отрезке линейной комбинацией других. Свойства:

• Если среди функций y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) есть нулевая функция, то функции линейно зависимы.

• Если функции y₁(x), y₂(x),..., y _k (x) линейно зависимы, то при любых y _{k + 1}(x), y _{k + 2}(x),..., y _n (x) функции y₁(x), y₂(x),..., y _k (x), y _{k + 1}(x),..., y _n (x) также линейно зависимы.

• Если функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b], то они линейно зависимы и на любом отрезке, лежащем внутри [a;b].

• Если функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) линейно независимы на [a;b], то они линейно независимы и на любом отрезке, содержащем отрезок [а;b] (если они определены на этом отрезке).

Вектор–функции называются линейно зависимыми на отрезке [ a; b ], если существуют постоянные α₁, α₂,..., α _n, не равные нулю одновременно и такие, что α₁ Y ₁(x) + α₂ Y ₂(x) +... + α _n Y _n (x) = 0 для всех x из отрезка [ a; b ].

В противном случае функции Y ₁(x), Y ₂(x),..., Y _n (x) называются линейно независимыми.

Определителем Вронского W(x; y1(x), y2(x),..., yn(x)) называется определитель, первая строка которого образована функциями y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) из C_n-1[a, b], а последующие строки образованы производными от функций предыдущей строки:

Справедливо следующее необходимое условие линейной зависимости функций:

Если функции y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x) линейно зависимы на отрезке [a;b], то их определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке: W(x; y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x)) ≡ 0 на [a;b].

Важно понимать, что обратное утверждение неверно. Определитель Вронского линейно независимой системы функций может быть тождественно равен нулю. Однако, если определитель Вронского системы функций на некотором отрезке отличен от тождественного нуля, то система функций линейно независима на этом отрезке.

Фундаментальные системы решений нормальной системы однородных линейных ОДУ. Теорема существования фундаментальных систем. Теорема об общем решении (о структуре общего решения) нормальной системы однородных линейных ОДУ.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

называется линейной системой. При система становится однородной. В векторно-матричной форме: , где
,

Будем искать решение . Ищем решение системы в таком виде:

Фундаментальной системой решений системы уравнений (*) называется системы из n линейно независимых вектор-функций.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y (x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения: .

Поиск по сайту: