 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода
Пусть поверхность S задана уравнением: z = f(x,y), причем f(x,y), f'x(x,y), f'y(x,y) — непрерывные функции в замкнутой области τ (проекции поверхности S на координатную плоскость Оху), а функция R(x,y,z) непрерывна на поверхности S. Нормаль к поверхности S, имеющая направляющие косинусы cos α, cos β, cos γ, выбрана к верхней стороне поверхности S. Тогда 
.
Для общего случая имеем:
= 
13. Теорема Гаусса-Остроградского, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
| S2 |
|
| (x,y)) |
| x |
| z |
| y |
|
| D |
| S1 |
| (V) |
Рассмотрим некую функцию R (x, y, z), заданную в области (V) и на границе, непрерывную в этой области и на границе вместе со своими частными производными первого порядка. Рассмотрим интеграл 
. Спроецируем тело на область D. Возьмём точку (x, y).
| (S) |
| x |
| z |
| y |
| (V) |
| P(x,y,z) |
Теперь спроектируем на оси x и z.
| (S) |
| x |
| z |
| y |
| (V) |
| Q(x,y,z) |
Складывая эти формулы, получаем формулу Остроградского-Гаусса: 
. Формула сводит интеграл от объёма к интегралу по границе.
Если 
и 
или 
и 
или 
и 
, тогда 
. А если , и , то: 
.
В общем виде теорема звучит так. Пусть в замкнутой ограниченной области (V) заданы функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z), непрерывные на (V) вместе со своими частными производными первого порядка. Тогда имеет место следующее тождество: .
| (S) |
| (V) |
. В обычном виде формула выглядит так: 
Левую часть можно записать так: 
, 
, 
. Следовательно: 
, так как 
. Мы получили поток вектора через замкнутую поверхность. Правую часть можно записать как дивергенцию (расходимость): 
. В итоге формула Гаусса-Остроградского в векторном виде: 
. Читается так: поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу по объёму от его дивергенции.
Дивергенцией векторного поля A в точке MÎV называется производная функции 
по объему в этой точке: 
.
14. Теорема Стокса, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
. 
{ф. Грина}=
= 
. Аналогично 
c 
, 
c 
.
Теорема: Пусть в некоторой окрестности поверхности S функции Р(х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z) непрерывны и имеют непрерывные частные, производные первого порядка.Тогда имеет место следующее соотношение:
. (Формула Стокса).
.
Инвариантная запись формулы Стокса: Используя выражение для 
в ортогональном базисе 
, 
:
. Укажем на поверхности S определенную сторону, т.е. укажем непрерывное поле единичных нормалей 
. Используя стандартное обозначение cosx, cosy, cos 
для координат единичного вектора нормали к поверхности S получим: 
. Из соотношения видно, левая часть формулы Стокса может быть записана в виде 
. Скалярное произведение: 
и элемент площади 
поверхности S не зависят от выбора декартовой прямоугольной системы координат в пространстве, и при переходе к новому ортогональному базису 
', 
левая часть формулы не изменит своего значения и формы – инвариантна.
Рассмотрим 
. Пусть 
– единичный вектор касательной в точках границы L поверхности S, cosa, cosb, cos 
– координаты этого вектора. 
, 
. Т.о 
– циркуляция векторного поля p по кривой L. 
- инвариант. Получаем 
= 
.
Поиск по сайту: