 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Определение криволинейного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода
Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями 
. L называется простой (плоской) незамкнутой кривой, если функции 
, 
непрерывны на 
и различным значениям параметра t из сегмента 
соответствуют различные точки 
, 
. Если точка 
совпадает с точкой 
, а остальные точки не являются кратными, то L называется простой замкнутой кривой. Простая кривая L называется спрямляемой, если существует предел (длинa кривой L) длин ломаных, вписанных в кривую, при Δt → 0.
Пусть на кривой AB заданы две функции, P (x, y) и Q (x, y). Разобьем сегмент на n частей точками 
. Кривая АВ разобьется на n частей точками 
в направлении от A к B. Пусть 
– координаты точки 
, 
, 
, 
– длина дуги 
. На каждой дуге возьмем некоторую точку (координаты 
) и составим две интегральные суммы: 
, 
. Если существует предел интегральной суммы 
при стремлении к нулю наибольшей из длин , то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода 
. Сумма 
называется общим криволинейным интегралом второго рода.
Из определения криволинейного интеграла второго рода следует, что при изменении направления обхода кривой AB изменяется и знак интеграла 
. Аналогично вводится 
для пространственной кривой, заданной параметрически 
Криволинейные интегралы обладают теми же свойствами, что и обычные определенные: Линейность 
. Аддитивность: 
. Монотонность: если f 
g, то 
.
Кривая L кусочно-гладкая, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую.
Вычисление криволинейного интеграла второго рода с помощью определенного интеграла.
Если AB – кусочно-гладкая кривая, а функции Р=Р(x,y) и Q=Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB, то справедливо равенство: 
= 
.
Если кривая AB задана уравнением y = у (x), a ≤ x ≤ b, и имеет кусочно-непрерывную производную, а функции P (x, y) и Q (x, y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB, то имеет место равенство: 
= 
.
Поиск по сайту: