Простейшие ОДУ высших порядков, интегрируемые в квадратурах и допускающие понижение порядка

Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида F (x, y (x), y '(x), y ''(x), …, y ^{( n )}(x)) = 0, где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала (a, b), y (x) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения.

Функция y (x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a, b), если она n раз дифференцируема на (a, b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями в нормальной форме: y ^{( n )} = f (x, y, y ', y '', …, y ^{( n − 1)}).

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия. Чтобы выделить единственное решение уравнения n –го порядка обычно задают n начальных условий y (x ₀) = y ₀, y '(x ₀) = y ₁, y ''(x ₀) = y ₂, …, y ^{(n − 1)}(x ₀) = y_{n − 1}.

Общим решением дифференциального уравнения F (x, y (x), y '(x), y ''(x), …, y ^{( n )}(x)) = 0 называется функция y = Ф(x, С₁, С₂, …, С _n), содержащая некоторые постоянные (параметры) С₁, С₂, …, С _n, и обладающая следующими свойствами:

1. Ф(x, С₁, С₂, …, С _n) является решением уравнения при любых допустимых значениях С₁, С₂, …, С _m;

2. для любых начальных данных y (x ₀) = y ₀, y '(x ₀) = y ₁, y ''(x ₀) = y ₂, …, y ^{(n − 1)}(x ₀) = y_{n − 1}, для которых задача Коши имеет единственное решение, существуют значения постоянных С₁ = A ₁, С₂ = A ₂, …, С _n = A_n, такие что решение y = Ф(x, A₁, A₂, …, A _n) удовлетворяет заданным начальным условиям.

Иногда частное или общее решение уравнения удается найти только в неявной форме: f (x, y) = 0 или G (x, y, С₁, С₂,..., С _n) = 0.

Такие неявно заданные решения называются частным интегралом или общим интегралом уравнения.

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к алгебраическим операциям и к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций, то уравнение называется интегрируемым в квадратурах. Класс таких уравнений относительно узок.

Если в результате каких–либо преобразований порядок n уравнения F (x, y, y ',..., y ⁽ⁿ⁾) = 0 может быть понижен, то говорят, что уравнение допускает понижение порядка.

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся в частности, уравнения, не содержащие искомой функции и ее производных до некоторого порядка,, т.е. уравнения вида Заменой z (x) = y^(k)(x) такое уравнение сводится к уравнению (n−k)–го порядка: Если z = z (x, C ₁,..., C _n-k) решение этого уравнения, то общее решение уравнения n–го порядка может быть вычислено по формуле

Простейшее уравнение, допускающее понижение порядка — уравнение вида y ⁽ⁿ⁾ = f (x), его общее решение имеет вид

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся уравнения, не содержащие независимой переменной — уравнения вида F (y, y ',..., y ⁽ⁿ⁾) = 0. Порядок уравнения можно понизить заменив y ' = p(y). После подстановки получим дифференциальное уравнение относительно функции p = p (y), в котором порядок старшей производной от p(y) будет на единицу меньше, чем порядок старшей производной от y(x) в исходном уравнении.

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся уравнения, не содержащие искомой функции — уравнения вида F (x, y ',..., y ⁽ⁿ⁾) = 0. Порядок уравнения можно понизить заменив y ' = p(x). После подстановки получим дифференциальное уравнение относительно функции p = p (x) на единицу меньшего порядка, чем исходное уравнение: F (x, p, p',..., p^{(n - 1)}) = 0. Если правая часть уравнения F (x, y, y ',..., y ⁽ⁿ⁾) = 0, удовлетворяет условию однородности F (x, ty, ty ',..., ty ⁽ⁿ⁾) = t^k F (x, y, y ',..., y ⁽ⁿ⁾) то говорят, что это уравнение, однородное относительно неизвестной функции и всех ее производных. Если в результате каких–либо преобразований порядок n уравнения F (x, y, y ',..., y ⁽ⁿ⁾) = 0 может быть понижен, то говорят, что уравнение допускает понижение порядка.

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся уравнения, однородные относительно неизвестной функции и всех ее производных. Порядок такого уравнения можно понизить заменой Выражение для первой производной от y (x) не содержит производной от z (x): . Поэтому, заменив в исходном уравнении y, y ',..., y ⁽ⁿ⁾ их выражениями через z (x), получим относительно z (x) дифференциальное уравнение на единицу меньшего порядка.

Основные понятия, относящиеся к системам ОДУ: порядок системы, нормальная форма системы, общее и частное решения, общий и первый интегралы. Задача Коши для нормальной системы, её геометрический смысл.

Совокупность соотношений вида:

Где y₁, y₂, …, y_n искомые функции от независимой переменной x, называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Будем предполагать функции F₂, F₂, …, F_n такими, что система разрешима относительно производных от искомых функций:

Такие системы называются нормальными системами дифференциальных уравнений.

Число уравнений, входящих в систему, называется порядком этой системы. Значит, наша система имеет n-ый порядок.

Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.

Семейство решений системы (2), зависящее от n произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_n

называют обычно общим решением этой системы.

Дадим определение общего решения системы (2) в области D изменения переменных x, y₁, y₂, …, y_n.

В качестве области D будем рассматривать область в пространстве (x, y₁, y₂, …, y_n), в каждой точке которой имеет место существование и единственность решения задачи Коши для системы (2).

Совокупность n функций (6), определённых в некоторой области изменения переменных x, C₁, C₂, …, C_n, имеющих непрерывные частные производные по x, будем называть общим решением системы (2) в области D, если система (6) разрешима относительно произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_n в области D, так что при любых значениях x, y₁, y₂, …, y_n, принадлежащих области D, системой (6) определяются значения C₁, C₂, …, C_n:

и если совокупность n функций (6) является решением системы (2) при всех значениях произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_n, доставляемых формулами (7), когда точка (x, y₁, y₂, …, y_n) пробегает область D.

Решение, получающееся из формулы общего решения при частных числовых значениях произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_n,, включая бесконечности, будет частным решением.

Решая задачу Коши при помощи формулы общего решения всегда получаем частное решение.

1-ое определение интеграла системы. Функция φ(x, y₁, y₂, …, y_n), не приводящаяся к постоянной, называется интегралом системы (2), если при замене y₁, …, y_n любым частным решением этой системы она обращается в постоянную.

2-ое определение интеграла системы. Функция φ(x, y₁, y₂, …, y_n), имеющая непрерывные частные производные по x, y₂, …, y_n, и такая, что в рассматриваемой области не обращаются одновременно в нуль, называется интегралом системы (2), если полный дифференциал этой функции обращается тождественно в нуль в силу системы (2), то есть имеет место тождество:

.

Равенство , где – интеграл системы (2) в смысле первого или второго определения, а C – произвольная постоянная, называется первым интегралом системы (2). Например, каждое из равенств (7) является первым интегралом системы (2).

Совокупность n первых интегралов (7) обладает тем свойством, что она разрешима относительно искомых функций y₁, y₂, …, y_n, причём в результате этого мы получаем общее решение (6) системы (2) в области D. Всякую совокупность n первых интегралов, обладающую таким свойством, будем называть общим интегралом системы (2) в области D.

Поиск по сайту: