АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде. Элемент площади поверхности

Читайте также:
  1. A. Определение элементов операций в пользу мира
  2. C. Число элементов в операции
  3. Административно-правовой статус гражданина РФ, его элементы
  4. Акант - скульптурное изображение листьев одноименного растения. Является важнейшим декоративным элементом коринфского ордера.
  5. Анализ сбытовой деятельности как элемента подсистемы хозяйственного обследования ООО «Камэнергостройпром»
  6. Анатомия, физиология, первичные и вторичные элементы
  7. Б) если в двигательном фонде отсутствует оперные элементы
  8. БЕЗЛИЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
  9. Билет №21. Общая характеристика элементов IV а группы. Сопоставительная характеристика атомов, простых веществ, водородных и кислородных соединений элементов подгруппы углерода.
  10. Био макро– и микроэлементы, и их биологическая роль.
  11. В результате выполнения кадастровых работ в связи с уточнением местоположения границы и площади земельного участка
  12. Взаимосвязанное изучение хозяйственных процессов как элемент методики анализа

M
γ
(L)
x
z
y
G
(S)
Рассмотрим кусок поверхности S, заданной уравнением F=(x,y,z)=0. Пусть выполняется условие , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором . Разобьем поверхность S сеткой гладких кривых на элементарные области (разбиение Z). Пусть – наибольший из диаметров элементарных областей. Если независимо от разбиения Z существует , то он и называется площадью данной поверхности. Пусть S однозначно проектируется на плоскость xy и G – это проекция. Элементу площади dxdy области G на плоскости xy соответствует элемент площади поверхности S, равный , где – угол между нормалью к поверхности S и осью Z. Поэтому вычисление площади поверхности сводится к вычислению двойного интеграла по проекции поверхности на плоскость. Если поверхность задана уравнением , , а нормаль представляет собой градиент функции, то есть: , то и площадь поверхности вычисляется по формуле:

, здесь G – проекция поверхности S на плоскость xy.

Если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости, то соответственно изменится формула вычисления площади поверхности.

Если кривая задана параметрическими уравнениями и , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми и и отрезком [a,b] оси Ox, выражается формулой где определяются из уравнений

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами находится по формуле

.


8.

Δlk­
(L)
M2
M1
B
y
x
A
Определение криволинейного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.

Кривая должна быть простой кривой, то есть .

Пусть кривая будет разбита точками разбиения. Составим интегральную сумму.

Полученный интеграл называется криволинейным интегралом первого рода.

На словах можно сказать так. Если существует предел интегральной суммы (см. выше) при стремлении к нулю наибольшей из длин Δ lk (то есть ), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f (x, y) по кривой L и обозначается символом или .

Если кривая задана не параметрически, а, к примеру, так: , тогда .

Основные свойства:

· Линейность:

· Аддитивность (если дуга AB составлена из двух дуг AC и CB):

· Монотонность: если f<=g на L, то:

· Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак:

· Оценка модуля интеграла:

Вычисление. Пусть L – кривая, как на рисунке, заданная параметрически. Пусть функция f (x, y) определена и интегрируема вдоль кривой l как криволинейный интеграл первого рода. Тогда: .

Таким образом, для вычисления по длине дуги АВ надо, используя параметрическое уравнение кривой, выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить dl дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.48 сек.)