НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3.3.1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования определяются следующим образом ( полагаем непрерывной на соответствующих интервалах):

а) ;

б) ;

в)

(относительно последних двух интегралов см. п. а), б)).

Если в случаях а), б) указанный предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся. В случае же в) исходный интеграл считается расходящимся, если таковым является хотя бы один из интегралов в правой части равенства.

3.3.2. Интегралы от функций с разрывами второго рода определяются следующим образом (в п. а) и б) параметр ):

а) имеет разрыв на левом конце отрезка; тогда

;

б) имеет разрыв на правом конце отрезка; тогда

;

в) имеет разрыв в точке :

(относительно последних двух интегралов см. п. а), б)).

В случаях, если соответствующий предел не существует или бесконечен (см. п. а), б)) интеграл называется расходящимся; расходимость в случае п. в) определяется аналогично 3.3.1, в).

Замену переменных под знаком несобственного интеграла можно осуществить по той же схеме, что и под знаком определенного интеграла.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл

.

Решение. Выделим полный квадрат

;

положим затем , тогда . При этом новые пределы интегрирования, определяемые по старым формулой будут такими: . Имеем

.

Получив интеграл табличного типа, воспользуемся определением 3.3.1, б) интеграла с бесконечным нижним пределом

.

Пример 2. Вычислить несобственный интеграл

.

Решение. Заметив, что , воспользуемся определением 3.3.1, а) несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом

,

т.е. интеграл является расходящимся.

Замечание. Приведенные примеры показывают, что формула Ньютона-Лейбница (3.2.1) распространяется на несобственные интегралы в виде

;

в простейших случаях (если в результате не получается неопределенности), можно пользоваться непосредственно последними соотношениями.

Например,

.

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл

.

Решение. Функция непрерывна на интервале и имеет разрыв (2-го рода) в концевой точке . Удобно (прежде чем пользоваться определением 3.3.2) сделать замену переменных ; при этом пределы интегрирования определяются следующим образом:

.

Далее, , , откуда . Следовательно,

.

Теперь имеет разрыв на левом конце отрезка интегрирования , т.е. в точке . Согласно определению п. а), 3.3.2

,

т.е. интеграл оказывается расходящимся.

Пример 4. Вычислить несобственный интеграл

.

Решение. Функция имеет разрыв на правом конце промежутка интегрирования. Согласно п. б), 1.3.2 имеем:

.

3.3.3 Задачи для самостоятельного решения. Найти несобственные интегралы или установить их расходимость

1.	2.	3.	4.
5.	6.	7.	8.
9.	10. .

Поиск по сайту: