АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений

Читайте также:
  1. A) Метод опроса
  2. A) на этапе разработки концепций системы и защиты
  3. I. Метод стандартизации
  4. I. Методы выбора инновационной политики
  5. I. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
  6. I. Основные характеристики и проблемы философской методологии.
  7. I.Дисперсные системы
  8. I.ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
  9. II. ВИРУСОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД
  10. II. Вывод и анализ кинетических уравнений 0-, 1-, 2-ого порядков. Методы определения порядка реакции
  11. II. Методологічні засади, підходи, принципи, критерії формування позитивної мотивації на здоровий спосіб життя у дітей та молоді
  12. II. Методы прогнозирования и поиска идей

В основе метода Ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функ­ций в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые производные (и производ­ные более высоких порядков), отбрасываются. Пусть приближенные значения неизвестных системы (например, полученные на предыду­щей итерации) равны соответственно . Задача состоит в нахождении приращений (по­пра­вок) к этим значениям , благодаря которым решение исходной системы за­пи­шется в виде: . Проведем разложение левых частей уравнений исходной системы в ряд Тэйлора, ограничи­ва­ясь лишь линейными членами относительно приращений:

Поскольку левые части этих выражений должны обращаться в нуль, то можно приравнять к ну­лю и правые части:

 

в матричном виде:

Значения и их производные вычисляются при .

Определителем последней системы является якобиан:

.

Для существования единственного решения системы якобиан должен быть отличным от нуля на каждой итерации.

Таким образом, итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона состоит в определении приращений к значениям неизвестных на каждой итерации. Счет прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине:

.

В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хо­рошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы. Итак, за расчетную формулу примем

или .

Сходимость метода. Теорема. Пусть в некоторой окрестности решения системы нелинейных уравнений функции дважды непрерывно дифференцируемы и определитель матрицы Якоби не равен нулю. Тогда найдется такая малая – окрестность решения , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности, итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка: , – метод сходится с квадратичной скоростью.

В качестве примера можно рассмотреть использование метода Ньютона для решения систе­мы двух уравнений: , где и – непрерывно дифференцируемые функции. Пусть начальные значения неизвестных равны . После разложения исходной системы в ряд Тэйлора можно получить:

Предположим, что якобиан системы при и отличен от нуля:

.

Тогда значения и можно найти, используя матричный способ следующим образом:

.

 

Вычислив значения и можно найти и следующим образом:

.

Величины, стоящие в правой части, вычисляются при и .

Критерий окончания. Будем считать, что заданная точность достигнута, если или .

 


Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)