 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Производную в каждой точке интервала (а; в), то функция убывает на этом интервале
Определение: Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции.
Необходимое условие существования экстремума.
Теорема Ферм а. Если точка х0 является точкой экстремума функции f(x) и в этой точке существует производная функции f(x), то она равна нулю, т. е. 
= 0.
Так, функция, график которой изображен на рисунке, имеет экстремумы в точках х1, х2,х3 и х4.В точках х1 и х2 к графику функции можно провести касательные, причем эти касательные параллельны оси х, а значит, угловой коэффициент каждой из касательных равен нулю - 
1) = 0 и 2) = 0. В точках х3 и х4 производная не существует.
Итак, экстремумы функции могут достигаться только в критических точках. Обратное утверждение не верно: не во всякой критической точке функция имеет экстремум. Так, функция у = х3 имеет одну критическую точку х = 0 (в этой точке 
), но не имеет в этой точке ни максимума, ни минимума. 
Достаточное условие существования экстремума.
Пусть функция непрерывна и имеет производную в некоторой окрестности точки х0. Тогда:
если 
на интервале (а; х0) и 
на интервале (х0;в) (т.е. производная меняет знак с 
), то х0 – точка 
функции f(x).
Правило отыскания промежутков монотонности (возрастания и убывания) и экстремумов функции у =f(x)
1. Найти производную .
2. Найти критические точки – точки, где 
или не существует.
3. Найти промежутки знакопостоянства производной: решить неравенства > 0 и 
.
4. С помощью достаточного признака исследовать функцию в критических точках на экстремум.
Вычислить значения функции в экстремальных точках.
Пример.
Найти промежутки монотонности и исследовать на экстремум функцию у = х3 – 27х.
1. Находим производную
3х2 – 27.
в точках х =3; х = 0 и х = - 3 (это критические точки).
Для решения неравенств 
и воспользуемся методом промежутков. Отметим на координатной прямой критические точки и определим знаки производной на полученных промежутках.
+ - + -
_______________________________
- 3 0 3
Функция возрастает на промежутках (-∞; -3) и(0;3) и убывает на промежутках (-3;0) и (3; ∞).
Точки х = -3 и х = 0 – точки максимума, y max = 54, y max = 0, а х = 0 – точка минимума и y min = 0.
Поиск по сайту: