КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

10.1. Основные определения. Квадратичной формой от n переменных называется сумма, каждое слагаемое которой – либо квадрат одного из переменных, либо произведение двух разных переменных (с точностью до коэффициентов). Числовые коэффициенты при обозначаются через , при () через . Поскольку , то . Таким образом, квадратичную форму в общем виде можно записать так:

Например, для квадратичной формы от трех переменных имеем:

. (10.1)

Числа образуют матрицу квадратичной формы, которая является симметрической (в силу свойства ). В частности, матрица квадратичной формы (10.1) имеет вид

(10.2)

Пример 10.1. Выписать матрицу квадратичной формы

.

Решение. Квадратичная форма имеет вид(10.1). Сопоставляя обозначения, замечаем, что числовые коэффициенты при квадратах выписываются по главной диагонали. Далее, коэффициент «2», стоящий при произведении , необходимо разделить на 2 (так как ) и полученное значение записать на пересечении первой строки и второго столбца, а также на пересечении второй строки и первого столбца. Аналогично поступаем с коэффициентом «-3», который делится на 2 и полученное значение записывается на пересечениях второй строки и третьего столбца и третьей строки и второго столбца. Наконец, произведение отсутствует в заданной квадратичной форме, поэтому соответствующий коэффициент равен 0. Итак, матрица квадратичной формы имеет вид .

Пример 10.2. Найти квадратичную форму по матрице .

Решение. Учитывая (10.1) и (10.2), получаем:

.

Замечание. Как и при решении примера 10.1, мы учли, что коэффициенты при квадратах – это числа, стоящие на главной диагонали (именно поэтому слагаемое отсутствует), а для того, чтобы найти коэффициент при произведении , необходимо сложить одинаковые числа, стоящие на пересечении i- й строки и j -го столбца и j -й строки и i -го столбца.

10.2.Знакоопределенность. Квадратичная форма от n переменных является положительно (отрицательно) определенной, если () при всех (такие квадратичные формы называют знакоопределенными). Если при всех (), то такая квадратичная форма называется полуопределенной. Наконец, в случае, когда квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, говорят о неопределенной квадратичной форме.

Через (k=1,2,…,n) обозначим угловые миноры матрицы квадратичной формы (т.е. определители матриц, образованных числами, стоящими на пересечении первых k строк и первых k столбцов рассматриваемой матрицы). Например, для квадратичной формы от трех переменных вида (10.1) (с матрицей (10.2))

; ;

Так, для квадратичной формы из примера 10.1 имеем: , ; (проверьте!)

Теорема 10.1 (критерий Сильвестра). Пусть все угловые миноры квадратичной формы отличны от нуля. Справедливы следующие утверждения:

1) квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры положительны;

2) квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда угловые миноры с нечетными номерами отрицательны, а угловые миноры с четными номерами положительны;

Замечание 1. Для квадратичной формы от трех переменных вида (10.1) это утверждение принимает вид:

1а) Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда выполняются условия: , ; ;

2а) квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда выполняются условия: , ; ;

Замечание 2. В случае, когда для квадратичной формы от трех переменных условия 1а) и 2а) не выполнены, но все угловые миноры отличны от нуля, квадратичная форма не является знакоопределенной. Если же среди угловых миноров есть равные нулю, требуется дополнительное исследование. Например, матрица квадратичной формы имеет вид , и очевидно, что уже первый угловой минор обращается в нуль, т.е. теорему 10.1 применять нельзя. Однако легко заметить, что , , т.е. данная квадратичная форма является неопределенной.

Пример 10.3. Определить знаки квадратичных форм:

1) ;

2) .

Решение. Первая квадратичная форма рассматривалась в примере 10.2, ее матрица имеет вид . Найдем угловые миноры и определим их знак: , ,

Таким образом, все угловые миноры отличны от нуля, но ни условие 1а), ни условие 2а) не выполняется. Следовательно, данная квадратичная форма является неопределенной.

Выпишем матрицу второй квадратичной формы: . Вычисляем угловые миноры и определяем их знаки: , , Все угловые миноры положительны, значит, вторая квадратичная форма является положительно определенной.

Замечание. В обоих случаях угловые миноры вычислялись по определению (определители раскрывались по первой строке).

Поиск по сайту: