Модели с бинарными фиктивными переменными

Термин “фиктивные переменные” используется как противоположность “значащим” переменным, показывающим уровень количественного показателя, принимающего значения из непрерывного интервала. Как правило, фиктивная переменная — это индикаторная переменная, отражающая качественную характеристику. Чаще всего применяются бинарные фиктивные переменные, принимающие два значения, 0 и 1, в зависимости от определенного условия. Например, в результате опроса группы людей 0 может означать, что опрашиваемый - мужчина, а 1 - женщина.

К фиктивным переменным иногда относят регрессор, состоящий из одних единиц (т.е. константу, свободный член), а также временной тренд.

Фиктивные переменные, будучи экзогенными, не создают каких-либо трудностей при применении ОМНК. Фиктивные переменные являются эффективным инструментом построения регрессионных моделей и проверки гипотез.

Иногда возникает необходимость включения в модель фактор, имеющий два или более качественных уровней. Это могут быть разного рода атрибутивные признаки, такие, например, как профессия, пол, образование, климатические условия, принадлежность к определенному региону. Для того чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, им должны быть присвоены те или иные цифровые метки, т. е. качественные переменные необходимо преобразовать в количественные. Такого вида сконструированные переменные в эконометрике принято называть фиктивными переменными.

Моделью бинарного выбора называется модель регрессии, в которой результативная переменная может принимать только узкий круг заранее заданных значений

В качестве примеров бинарных результативных переменных можно привести:

Приведенные в качестве примеров бинарные переменные являются дискретными величинами. Бинарная непрерывная величина задаётся следующим образом:

Если стоит задача построения модели регрессии, включающей результативную бинарную переменную, то прогнозные значения yiпрогноз, полученные с помощью данной модели, будут выходить за пределы интервала [ 0;+1 ] и не будут поддаваться интерпретации. В этом случае задача построения модели регрессии формулируется не как предсказание конкретных значений бинарной переменной, а как предсказание непрерывной переменной, значения которой заключаются в интервале [ 0;+1 ].

Решением данной задачи будет являться кривая, удовлетворяющая следующим трём свойствам:

1) 1) F(–∞)=0; 2) F(+∞)=1; 3) F(x1)>F(x2) при условии, что x1> x2.

Данным трём свойствам удовлетворяет функция распределения вероятности.

Модель парной регрессии с результативной бинарной переменной с помощью функции распределения вероятности можно представить в следующем виде:

prob(yi=1)=F(β0+β1xi), где prob(yi=1) – это вероятность того, что результативная переменная yi примет значение, равное единице.

В этом случае прогнозные значения yiпрогноз, полученные с помощью данной модели, будут лежать в пределах интервала [ 0;+1 ].

Модель бинарного выбора может быть представлена с помощью скрытой или латентной переменной следующим образом:

Векторная форма модели бинарного выбора с латентной переменной:

В данном случае результативная бинарная переменная yi принимает значения в зависимости от латентной переменной yi*:

Модель бинарного выбора называется пробит-моделью или пробит-регрессией (probit regression), если она удовлетворяет двум условиям:

1) остатки модели бинарного выбора εi являются случайными нормально распределёнными величинами; 2) функция распределения вероятностей является нормальной вероятностной функцией.

Пробит-регрессия может быть представлена с помощью выражения:

NP(yi)=NP(β0+β1x1i+…+βkxki),

где NP – это нормальная вероятность (normal probability).

Модель бинарного выбора называется логит-моделью или логит-регрессией (logit regression), если случайные остатки εi подчиняются логистическому закону распределения.

Логит-регрессия может быть представлена с помощью выражения:

Данная модель логит-регрессии характеризуется тем, что при любых значениях факторных переменных и коэффициентов регрессии, значения результативной переменной yi будут всегда лежать в интервале [0;+1].

Обобщённый вид модели логит-регрессии:

Достоинством данной модели является то, что результативная переменная yi может произвольно меняться внутри заданного числового интервала (не только от нуля до плюс единицы).

Логит-регрессия относится к классу функций, которые можно привести к линейному виду. Это осуществляется с помощью преобразования, носящего название логистического или логит преобразования, которое можно проиллюстрировать на примере преобразования обычной вероятности р:

Качество построенной логит-регрессии или пробит-регрессии характеризуется с помощью псевдо коэффициента детерминации, который рассчитывается по формуле:

Если значение данного коэффициента близко к единице, то модель регрессии считается адекватной реальным данным.

28) Теорема Гаусса – Маркова К.73 Функция регрессии как оптимальный прогноз

Пусть матрица X уравнений наблюдений имеет размер n_*(k+1), где n>k+1, n – число уравнений наблюдений, k+1 – количество неизвестных коэффициентов;

функции регрессии моделии обладает линейно-независимыми столбцами, а случайные возмущения удовлетворяют четырем условиям:

Cov(u_i,u_j)=0, i≠j

Cov(x_mi,u_j)=0 при всех значениях m,i,j

Тогда:

а) наилучшая линейная процедура (13), приводящая к несмещенной и эффективной оценке (11), имеет вид:

(22)

б) линейная несмещенная эффективная оценка (22) обладает св-вом наименьших квадратов: (23)

в) ковариационная матрица оценки (22) вычисляется по правилу:

(24)

г) несмещенная оценка параметра σ² модели нах-ся по формуле:

(25)

Поиск по сайту: