Взвешенный метод наименьших квадратов (ВМНК). Простейшая модель гетероскедастичности случайного остатка. Практическая реализация ВМНК

Идея, заложенная в тест Голдфелда-Квандта, позволяет предложить простейшую модель случайного остатка в модели ЛММР:

- версия из лекции;

- версия из учебника (обратите внимание на разницу в числе слагаемых под знаком суммы).

В данной модели присутствуют две константы:

1) - дисперсия единицы веса (определение дано далее);

2) - показатель степени (априорно заданное число).

Параметр подбирается в итоге проведения теста Голдфелда-Квандта так, чтобы тест сигнализировал о гомоскедастичности остатка в преобразованной ЛММР (см. ниже).

Замечание Если остаток в модели гомоскедастичен, то , и const будет иметь смысл дисперсии случайного остатка.

Определение Весом случайной переменной u называется дробь, в числителе которой расположена произвольная положительная const , а в знаменателе – дисперсия случайной переменно u - :

- из лекции;

- из учебника.

Const имеет смысл дисперсии случайного остатка, вес которого равен 1. Такой остаток называют единицей веса.

Алгоритм взвешенного метода наименьших квадратов (ВМНК) состоит в предварительной трансформации ЛММР с гетероскедастичным остатком к модели с гомоскедастичным остатком, далее проверке гомоскедастичности остатка в трансформированной модели и, наконец, в применении процедуры МНК. Алгоритм базируется на свойстве:

(в лекции Бывшев просил это доказать, не знаю, стоит это делать на экзамене или нет).

Умножим поведенческое уравнение (см. ЛММР) модели на корень из веса случайного остатка (). В итоге получим трансформированную модель с гомоскедастичным остатком .

.

Трансформированную модель можно оценивать МНК. Соответствующие уравнения наблюдения имеют вид:

- обратите внимание, что в каждом уравнении наблюдения будет своё ( - в первом, - во втором, и так далее).

, . Процедура МНК выглядит следующим образом:

А) ,

где - квадратная диагональная матрица, по главной диагонали которой расположены веса случайных остатков в уравнениях наблюдений:

, где - вес остатка в -м уравнении наблюдений, .

B) Оценка дисперсии единицы веса (дисперсии остатка в преобразованной модели) вычисляется:

, где

, .

С) Утверждение C Т. Гаусса-Маркова принимает вид:

D) , где - оценка среднеквадратического отклонения единицы веса.

Поиск по сайту: