Пункт 3. Округление приближенных чисел

Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить, отбрасывая излишние цифры и руководствуясь следующим известным правилом округления: если первая из отброшенных цифр 4 или меньше, то последняя оставшаяся цифра сохраняется без изменения; если первая из отброшенных цифр 5 или больше, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу. Исключением из этого правила является случай, когда отбрасывается только пятерка или же пятерка с нулями. Здесь принято сохранять последнюю оставшуюся цифру без изменения, если она четная, и увеличивать ее на единицу до четной, если она была нечетная.

Примеры

6. 4,5 7 =4,6 0,69 73 =0,70

7. 0,6 51 =0,7 4,77 56 =4,78

8. 0,6 437 =0,6 3,775 32 =3,775

9. 5,57 5 =5,58 5,58 5 =5,58

При проведении вычислений рекомендуется сохранять максимальное число значащих цифр для всех промежуточных результатов. Округляется только конечный результат в соответствии с оцененной предельной абсолютной погрешностью. Если погрешность результата не оценивается, то можно руководствоваться следующими общими правилами округления результатов действий:

1. При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков.

2. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое данное с наименьшим числом значащих цифр.

3. При возведении в квадрат или куб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближённое число (последняя цифра квадрата и особенно куба при этом менее надежна, чем последняя цифра основания).

4. При извлечении квадратного и кубического корней в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое значение подкоренного числа (последняя цифра квадратного и особенно кубического корня при этом более надёжна, чем последняя цифра подкоренного числа).

Пункт 4. Абсолютная и относительная погрешность вычисления
функции одной переменной.

Важной проблемой при проведении вычислений с использованием приближенных чисел является вопрос о влиянии погрешности исходных данных на погрешность полученного результата. Рассмотрим случай вычисления функции одного аргумента, который является приближенным числом. Решение данной задачи является основной теоремой.

Теорема. Предельная абсолютная погрешность вычисления функции равна произведению абсолютной величины ее производной на предельную абсолютную погрешность аргумента, то есть .

Рассмотрим относительную погрешность вычисления функции одной переменной. Обозначим предельную относительную погрешность аргумента через δx, а функции – δy, тогда, учитывая, что , получим

Так как по правилам дифференцирования сложной функции

, то полученное выражение можно записать так:

В таком виде выражение удобно для приложения к легко логарифмируемым функциям.

Рассмотрим погрешность вычисления степенной функции:

, т. е. предельная относительная погрешность степени равна предельной относительной погрешности основания, умноженной на абсолютную величину показателя степени.

Для оценки погрешности существуют следующие простые правила:

1. При сложении и вычитании абсолютные погрешности складываются

2. При умножении и делении относительные погрешности складываются;

3. При возведении в степень относительные погрешности умножаются на абсолютную величину показателя степени.

4. При отыскании значения функции абсолютная погрешность функции равна произведению абсолютной погрешности аргумента на абсолютную величину производной

Следует отметить, что при вычислении значений функции абсолютная погрешность может существенным образом зависеть от того, каким образом записана расчетная формула и какова последовательность операций в этой формуле. Формулы для вычислений надо стараться преобразовывать к такому виду, чтобы в них не было вычитания близких величин; последнее может привести к большой потере точности и большим относительным ошибкам.

Поиск по сайту: