Пункт 2. Метод прямоугольника

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке . Этот отрезок делится точками на равных отрезков длиной Обозначим через значение функции в точках Далее составляем суммы Каждая из сумм - интегральная сумма для на и поэтому приближённо выражает интеграл

Если заданная функция - положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Очевидно, стоит рассчитывать на бо́льшую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:

, где .

Учитывая априорно бо́льшую точность последней формулы при том же объеме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников.

Погрешность формулы прямоугольника:

, где .

Пример 10.

Вычислить интеграл при n=10 с точностью до 0,0001 по формулам прямоугольников.

Решение:

Разделим интервал интегрирования [0; 1] на 10 равных частей шаг разбиения.

Найдем точки деления х_n и значения подынтегральной функции в этих точках.

n	xn
		2.2136
	0.1	2.2363
	0.2	2.2378
	0.3	2.2421
	0.4	2.2503
	0.5	2.2638
	0.6	2.2839
	0.7	2.3115
	0.8	2.3478
	0.9	2.3935
	1.0	2.4494

Используя одну из формул прямоугольников , имеем

Для нахождения абсолютной погрешности формулы прямоугольников вычислим наибольшее значение первой производной в интервале [0; 1].

;

тогда предельная абсолютная погрешность R_n приближения равна:

Ответ: .

Пример 11.

Вычислить интеграл при n=10 и ε=0,001 по формуле прямоугольника.

Решение:

Разделим интервал интегрирования [1; 2] на 10 равных частей шаг разбиения.

Найдем точки деления х_n и значения подынтегральной функции в этих точках.

n	xn
	1,0	1.000
	1.1	1.049
	1.2	1.095
	1.3	1.140
	1.4	1.183
	1.5	1.225
	1.6	1.265
	1.7	1.304
	1.8	1.342
	1.9	1.378
	2.0	1.414

Используя одну из формул прямоугольников , имеем

.

Для нахождения абсолютной погрешности формулы прямоугольников вычислим наибольшее значение первой производной в интервале [1; 2].

.

Так как y’ на отрезке [1; 2] достигает наибольшего значения при х=1, отсюда .

Ответ: .

Поиск по сайту: