АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Пункт 3. Метод трапеций

Читайте также:
  1. ABC-аналіз як метод оптимізації абсолютної величини затрат підприємства
  2. I. ПРЕДМЕТ И МЕТОД
  3. I.ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
  4. II. Документация как элемент метода бухгалтерского учета
  5. II. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
  6. II. Методична робота.
  7. II. МЕТОДЫ, ПОДХОДЫ И ПРОЦЕДУРЫ ДИАГНОСТИКИ И ЛЕЧЕНИЯ
  8. II. МЕТОДЫ, ПОДХОДЫ И ПРОЦЕДУРЫ ДИАГНОСТИКИ И ЛЕЧЕНИЯ
  9. III. Mix-методики.
  10. III. ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ .
  11. III. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
  12. III. Методы оценки функции почек

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать (приближать) прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

где

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:

где .

Погрешность формулы трапеций:

где .

Точное значение погрешности:

, где .

 

Пример 12.

Вычислить интеграл при n=10 с точностью до 0,0001 по формуле трапеций.

Решение:

Разделим интервал интегрирования [0; 1] на 10 равных частей шаг разбиения.

Найдем точки деления хn и значения подынтегральной функции в этих точках.

n xn
    2.2136
  0.1 2.2363
  0.2 2.2378
  0.3 2.2421
  0.4 2.2503
  0.5 2.2638
  0.6 2.2839
  0.7 2.3115
  0.8 2.3478
  0.9 2.3935
  1.0 2.4494

 

Используя формулу трапеций, получаем

.

Для нахождения абсолютной погрешности формулы трапеции вычислим наибольшее значение второй производной в интервале [0; 1].

;

тогда абсолютная погрешность Rn приближения равна:

.

Ответ:

Пункт 4. Метод парабол (метод Симпсона).

Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

.

Если разбить интервал интегрирования на 2 N равных частей, то имеем

Погрешность формулы парабол:

, где .

Точное значение погрешности:

, где .

 

Увеличение точности.

Если отыскание четвертой производной подынтегральной функции затруднено, то для оценки интеграла по формуле Симпсона можно применить метод удвоения шага вычислений, для чего:

1. удваивают шаг интегрирования;

2. вычисляют значения подынтегральной функции y=f(x) в новых точках деления;

3. используют формулу Симпсона и вычисляют ;

4. определяют относительную погрешность, используя формулу .

 

Пример 13.

Вычислить интеграл при n=10 с точностью до 0,0001 по формуле Симпсона (формуле парабол).

Решение:

Разделим интервал интегрирования [0; 1] на 10 равных частей шаг разбиения.

Найдем точки деления хn и значения подынтегральной функции в этих точках.

n xn
    2.2136
  0.1 2.2363
  0.2 2.2378
  0.3 2.2421
  0.4 2.2503
  0.5 2.2638
  0.6 2.2839
  0.7 2.3115
  0.8 2.3478
  0.9 2.3935
  1.0 2.4494

 

Используя формулу Симпсона, получаем

.

Для нахождения абсолютной погрешности формулы трапеции вычислим наибольшее значение четвертой производной в интервале [0; 1].

.

;

тогда абсолютная погрешность Rn приближения равна:

.

Ответ:

Пример 14.

Вычислить по формуле Симпсона интеграл , приняв n=8 и ε=0,000001.

Оценить погрешность полученного результата, пользуясь методом удвоения шага вычислений.

Решение:

Разделим интервал [0;1] интегрирования на 8 равных частей - шаг разбиения.

n xn n xn
    1,000 000     1,000 000
  0,125 0,984 625 -    
  0,250 0,941 176   0,250 0,941 176
  0,375 0,876 712 -    
  0,500 0,800 000   0,500 0,800 000
  0,625 0,719 101 -    
  0,750 0,640 000   0,750 0,640 000
  0,875 0,566 389 -    
  1,000 0,500 000   1,000 0,500 000
Þ вычисляют I Þ вычисляют Io

 

Используя формулу Симпсона , получаем

;

.

Вычислим точное значение погрешности:

.

Таким образом, все шесть знаков I должны быть точными.

Ответ: .

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)