|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Пункт 3. Метод трапецийЕсли функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать (приближать) прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций. Площадь трапеции на каждом отрезке: Погрешность аппроксимации на каждом отрезке: где Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h: где . Погрешность формулы трапеций: где . Точное значение погрешности: , где .
Пример 12. Вычислить интеграл при n=10 с точностью до 0,0001 по формуле трапеций. Решение: Разделим интервал интегрирования [0; 1] на 10 равных частей шаг разбиения. Найдем точки деления хn и значения подынтегральной функции в этих точках.
Используя формулу трапеций, получаем . Для нахождения абсолютной погрешности формулы трапеции вычислим наибольшее значение второй производной в интервале [0; 1]. ; тогда абсолютная погрешность Rn приближения равна: . Ответ: Пункт 4. Метод парабол (метод Симпсона). Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид . Если разбить интервал интегрирования на 2 N равных частей, то имеем Погрешность формулы парабол: , где . Точное значение погрешности: , где .
Увеличение точности. Если отыскание четвертой производной подынтегральной функции затруднено, то для оценки интеграла по формуле Симпсона можно применить метод удвоения шага вычислений, для чего: 1. удваивают шаг интегрирования; 2. вычисляют значения подынтегральной функции y=f(x) в новых точках деления; 3. используют формулу Симпсона и вычисляют ; 4. определяют относительную погрешность, используя формулу .
Пример 13. Вычислить интеграл при n=10 с точностью до 0,0001 по формуле Симпсона (формуле парабол). Решение: Разделим интервал интегрирования [0; 1] на 10 равных частей шаг разбиения. Найдем точки деления хn и значения подынтегральной функции в этих точках.
Используя формулу Симпсона, получаем . Для нахождения абсолютной погрешности формулы трапеции вычислим наибольшее значение четвертой производной в интервале [0; 1]. . ; тогда абсолютная погрешность Rn приближения равна: . Ответ: Пример 14. Вычислить по формуле Симпсона интеграл , приняв n=8 и ε=0,000001. Оценить погрешность полученного результата, пользуясь методом удвоения шага вычислений. Решение: Разделим интервал [0;1] интегрирования на 8 равных частей - шаг разбиения.
Используя формулу Симпсона , получаем ; . Вычислим точное значение погрешности: . Таким образом, все шесть знаков I должны быть точными. Ответ: .
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |