Роль численных методов

МОДУЛЬ 3. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.

Часто возникает необходимость, как в самой математике, так и ее приложениях в разнообразных областях получать решения математических задач в числовой форме. (Для представления решения в графическом виде также требуется предварительно вычислять его значения.) При этом для многих задач известно только о существовании решения, но не существует конечной формулы, представляющей ее решение. Даже при наличии такой формулы ее использование для получения отдельных значений решения может оказаться неэффективным. Наконец, всегда существует необходимость решать и такие математические задачи, для которых строгие доказательства существования решения на данный момент отсутствуют.

Во всех этих случаях используются методы приближенного, в первую очередь численного решения. Методы численного решения математических задач всегда составляли неотъемлемую часть математики и неизменно входили в содержание естественно-математического и инженерного образования. Как самостоятельная математическая дисциплина вычислительная математика оформилась в начала 20-го века. К этому времени в основном были разработаны разнообразные, достаточно эффективные и надежные алгоритмы приближенного решения широкого круга математических задач, включающего стандартный набор задач из алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений.

Прогресс в развитии численных методов способствовал постоянному расширению сферы применения математики в других научных дисциплинах и прикладных разработках, откуда в свою очередь поступали запросы на решение новых проблем, стимулируя дальнейшее развитие вычислительной математики. Метод математического моделирования, основанный на построении и исследовании математических моделей различных объектов, процессов и явлений и получении информации о них из решения связанных с этими моделями математических задач, стал одним из основных способов исследования в так называемых точных науках.

Параллельно с развитием численных методов шла разработка инструментальных средств вычислений, представлявших собой различные механические, а затем электромеханические устройства для выполнения арифметических операций. Причем прогресс в области инструментальных средств не оказывал заметного влияния на ход развития методов вычислений. Принципиальным образом ситуация изменилась со середины нашего столетия, когда было осуществлено изобретение электронных вычислительных машин. В результате появления ПК скорость выполнения вычислительных операций выросла в миллионы раз, что позволило решить широкий круг бывших до этого практически не решаемыми математических задач. Широкое внедрение ПК в практику научных и технических расчетов потребовало интенсивного развития методов численного решения самых разных математических задач, причем методов, рассчитанных на реализацию их именно на ПК. Это связано с тем, что часть из ранее использовавшихся алгоритмов численного решения неэффективна при реализации на ПК, а некоторые просто непригодны для такого использования.

Современной формой метода математического моделирования, базирующейся на мощной вычислительной базе в виде ПК и программного обеспечения, реализующего алгоритмы численного решения, является вычислительный эксперимент, рассматриваемый как новый теоретический метод исследования различных явлений и процессов. Этот теоретический метод включает существенные черты методологии экспериментального исследования, но эксперименты выполняются не над реальным объектом, а над его математической моделью, и экспериментальной установкой является ЭВМ.

Технологическая цепочка вычислительного эксперимента включает в себя следующие этапы:

Ø построение математической модели исследуемого объекта (сюда же относится и анализ модели, выяснение корректности поставленной математической задачи;

Ø построение вычислительного алгоритма - метода приближенного решения поставленной задачи и его обоснование;

Ø программирование алгоритма на ПК и его тестирование;

Ø проведение серии расчетов с варьированием определяющих параметров исходной задачи и алгоритма;

Ø анализ полученных результатов.

Каждый из этих этапов допускает возврат к любому из предыдущих с целью его уточнения и корректировки.

В данном курсе рассматриваются вопросы, связанные со вторым этапом вычислительного эксперимента. Во многих случаях вычислительный алгоритм решения сложной задачи строится из набора базовых компонент, представляющих собой алгоритмы решения некоторых стандартных математических задач. Изучение численных методов решения этих задач - необходимый элемент овладения современной технологией математического моделирования.

При этом идея модели лежит в основе того, что можно назвать методом вычислительной математики. Как правило, алгоритмы приближенного решения базируются на том, что исходная математическая задача заменяется (аппроксимируется) некоторой более простой или чаще последовательностью более простых задач. Решение этих более простых задач трактуется как приближенное решение задачи исходной. Т.е. фактически используется некоторая модель исходной задачи.

Поиск по сайту: