Пункт 2. Метод Эйлера

Из множества разработанных для решения ОДУ первого порядка методов рассмотрим метод Эйлера. Он достаточно прост и дает начальное представление о подходах к решению данной задачи в рамках численного решения задачи Коши.

Итак, суть метода Эйлера заключается в том, что необходимо найти значения функции y в заданных точках сетки , если известны начальные значения , где есть значение функции y(x) в начальной точке x₀.

Рассмотрим метод Эйлера при решении дифференциального уравнения с начальным условием на отрезке .

Правило вычисления значений функции методом Эйлера:

1. Разбиваем отрезок на n равных частей точками , где и - шаг интегрирования.

2. Вычисляем вспомогательное значение искомой функции в точках с помощью формулы .

3. Находим значение правой части уравнения в средней точке и определяем .

Метод Эйлера обладает малой точностью. Погрешность вычислений в методе Эйлера зависит от шага h, она пропорциональна шагу h в первой степени, поэтому метод Эйлера является методом первого порядка точности.

Пример 16.

Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение при начальных условиях на отрезке . Вычисления производить с точностью .

Решение:

	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)
		1.5000	1.5000	0.1875	0.1250	1.6875	1.5625	0.3906
	0.25	1.8906	1.6406	0.2051	0.3750	2.0957	1.7204	0.4302
	0.50	2.3208	1.8208	0.2276	0.6750	2.5484	1.8734	0.4684
	0.75	2.7892	2.0392	0.2549	0.8750	3.0441	2.1691	0.5423
	1.00	3.3315	2.3315	0.2914	1.1250	3.6229	2.4974	0.6243
	1.25	3.9558	2.7058	0.3382	1.3750	4.2940	2.9190	0.7298
	1.50	4.6856

В данном примере ответом является полностью заполненный второй столбец.

Таблица заполняется построчно в следующем порядке:

Строчка с номером 0:

(1) по условию

(2) по условию

(3) (2)-(1) (в зависимости от данного дифференциального уравнения)

(4) (3)

(5) (1)+

(6) (2)+(4)

(7) (6)-(5) (в зависимости от данного дифференциального уравнения)

(8) (7)

Строчка с номером 1:

(1)

(2) (2)+(8) из предыдущей строчки

Далее вычисления проводятся по той же схеме.

Пример 17.

Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение при начальных условиях на отрезке . Вычисления производить с точностью .

Решение:

	0,8	1,4	1,34873	0,06744	0,85	1,40674	1,39474	0,13947
	0,9	1,53947	1,36375	0,06819	0,95	1,54629	1,40948	0,14095
	1,0	1,68042	1,37330	0,06867	1,05	1,68729	1,41879	0,14188
	1,1	1,82230	1,37850	0,06893	1,15	1,82919	1,42382	0,14238
	1,2	1,96468	1,38056	0,06903	1,25	1,97158	1,42576	0,14258
	1,3	2,10726	1,38065	0,06903	1,35	2,11416	1,42579	0,14258
	1,4	2,24984	1,37992	0,06900	1,45	2,25674	1,42504	0,14250
	1,5	2,39234	1,37945	0,06897	1,55	2,39924	1,42461	0,14246
	1,6	2,53480	1,38023	0,06901	1,65	2,54170	1,42547	0,14255
	1,7	2,67735	1,38318	0,06916	1,75	2,68427	1,42854	0,14285
	1,8	2,82020

Поиск по сайту: