Арифметика в позиционных системах счисления

Правила выполнения основных арифметических операций: сложение, вычитание, умножение и деление в десятичной системе применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Для каждой системы используются свои таблицы сложения и умножения.

Операции сложения и вычитания

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Таблица сложения в двоичной системе Таблица сложения в восьмеричной системе Таблица сложения в шестнадцатеричной системе

Пример 1.10. Сложить числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Десятичная 15₁₀ + 6₁₀ Двоичная 1111₂ + 110₂ Восьмеричная 17₈ + 6₈

Шестнадцатеричная F₁₆ + 6₁₆

Ответ: 15+6 = 21₁₀ = 10101₂ = 25₈ = 15₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

10101₂ = 2⁴ + 2² + 2⁰ = 16+4+1=21,

25₈ = 2^. 8¹ + 5^. 8⁰ = 16 + 5 = 21,

15₁₆ = 1^. 16₁ + 5^. 16₀ = 16+5 = 21.

Пример 1.11. Сложить числа 141,5 и 59,75 в различных системах счисления.

Десятичная 141,5₁₀ + 59,75₁₀ Двоичная 10001101,1₂ + 111011,11₂

Восьмеричная 215,4₈ + 73,6₈ Шестнадцатеричная 8D,8₁₆ + 3B,C₁₆

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду

11001001,01₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2⁰ + 2^-2 = 201,25

311,2₈ = 3^. 8² + 1_8¹ + 1^. 8⁰ + 2^. 8^-1 = 201,25

C9,4₁₆ = 12^. 16¹ + 9^. 16⁰ + 4^. 16^-1 = 201,25

Пример 1.12. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆

Двоичная 10₂ – 1₂ Восьмеричная 10₈ – 1₈ Шестнадцатеричная 10₁₆ – 1₁₆

Пример 1.13. Вычтем число 59,75 из числа 201,25 в различных системах счисления.

Десятичная 201,25₁₀ – 59,75₁₀ Двоичная 11001001,01₂ – 111011,11₂

Восьмеричная 311,2₈ – 73,6₈ Шестнадцатеричная C9,4₁₆ – 3B,C₁₆

Ответ: 201,25₁₀ ‑ 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^-1 = 141,5;

215,4₈ = 2^. 8² + 1^. 8¹ + 5^. 8⁰ + 4^. 8^-1 = 141,5;

8D,8₁₆ = 8^. 16¹ + D^. 16⁰ + 8^. 16^-1 = 141,5.

Умножение

Для умножения чисел в различных позиционных системах счисления используется обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но результаты перемножения и сложения однозначных чисел заимствуются из соответствующих системе таблиц умножения и сложения.

Таблица умножения в двоичной системе

Таблица умножения в восьмеричной системе

Пример 1.14. Перемножим числа 5 и 6 в различных системах счисления.

Десятичная 5₁₀ × 6₁₀ Двоичная 101₂ × 110₂ Восьмеричная 5₈ × 6₈

Ответ: 5₁₀ × 6₁₀ = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30;

36₈ = 3 × 8¹ + 6 × 8⁰ = 30.

Пример 1.15. Перемножим числа 115 и 51 в различных системах счисления.

Десятичная 115₁₀ × 51₁₀ Двоичная 1110011₂ × 111011₂

Восьмеричная 163₈ × 63₈

Ответ: 115^. 51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

1011011101001₂ = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2⁰ = 5865;

13351₈ = 1^. 8⁴ + 3^. 8³ + 3^. 8² + 5^. 8¹ + 1^. 8⁰ = 5865.

Поиск по сайту: