Приведение к линейному виду регрессий, нелинейных по параметрам

Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные.

Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду.

Если нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции.

Например, в эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция:

y = axb ε

где у – спрашиваемое количество;

х – цена;

ε – случайная ошибка.

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых пaраметров, ибо включает параметры а и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду:

lп у = lп а + b ln x + ln ε.

Соответственно оценки параметров а и b могут быть найдены МНК.

Если же модель представить в виде y = axb ε, то она становится внутренне нелинейной, ибо ее невозможно превратить в линейный вид. Внутренне нелинейной будет и модель вида — у = а + bхc + ε, ибо это уравнение не может быть преобразовано в уравнение, линейное по коэффициентам.

В специальных исследованиях по регрессионному анализу часто к нелинейным относят модели, только внутренне нелинейные по оцениваемым параметрам, а все другие модели, которые внешне нелинейны, но путем преобразований параметров могут быть приведены к линейному виду, относятся к классу линейных моделей.

В этом плане к линейным относят, например, экспоненциальную модель y = еa+bх ε, ибо логарифмируя ее по натуральному основанию, получим линейную форму модели

ln у = а + b х +lnε.

Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, в эконометрических исследованиях очень широко используется степенная функция y = axb ε.

Связано это с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование, т. е. он является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%.

В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразованным уравнениям.

Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия

,

то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам, т. е. lп у, 1 /у.

Так, в степенной функции y = axb ε МНК применяется к преобразованному уравнению lп у = lnа + x ln b.

Это значит, что оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах:

Вследствие этого оценки параметров для линеаризуемых функций МНК оказываются несколько смещенными. При исследовании взаимосвязей среди функций, использующих ln у, в эконометрике преобладают степенные зависимости – это и кривые спроса и предложения, и кривые Энгеля, и производственные функции, и кривые освоения для характеристики связи между трудоемкостью продукции и масштабами производства в период освоения выпуска нового вида изделий, и зависимость валового национального дохода от уровня занятости.

Поиск по сайту: