МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ

Шкель, В.А.

Ш66 Эконометрика и экономико-математические методы и
модели: сборник задач: учеб.-метод. пособие / В.А. Шкель – Минск: Частн. ин-т упр. и предпр., 2013. – 36 с.

ISBN 978-985-6971-89-4.

Рассматриваются примеры решения задач по эконометрике и ЭМММ, приведены задания для использования в учебном процессе и для самостоятельной работы.

Пособие предназначено для студентов дневной и заочной форм обучения Частного института управления и предпринимательства.

УДК 519.2

ББК 22.173

ISBN 978-985-6971-89-4 © Шкель В.А., 2013

© Частный институт управления и предпринимательства, 2013

Линейная парная регрессия....................................................................................... 4

Модель множественной регрессии.......................................................................... 7

Матричные игры........................................................................................................ 11

Системы массового обслуживания (СМО)......................................................... 19

Модели сетевого планирования и управления.................................................. 23

Модель межотраслевого баланса......................................................................... 30

Список литературы.................................................................................................. 33

ЛИНЕЙНАЯ ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ

Пример. В таблице приведены данные о двух условных экономических показателях x и y.

Необходимо:

1) оценить степень тесноты связи между переменными с помощью коэффициента корреляции;

2) построить уравнение линейной регрессии;

3) вычислить среднюю ошибку аппроксимации.

Решение

Для оценки силы линейной зависимости между переменными x и y вычислим коэффициент корреляции r_xy по формуле

где

Вычисления сведем в таблицу:

Окончание таблицы

Подставляя значения в формулу, получим:

var (x) = 9,29 – 2,92² = 0,74;

var (y) = 476,17 – 21,46² = 15,64;

Так как коэффициент корреляции близок к единице, то между переменными x и y существует достаточно выраженная линейная зависимость.

Для построения линейного уравнения регрессии = a + bx коэффициенты a и b находим по формулам:

Подставляя значения, получим:

a = 21,46 – 4,38 · 2,92 = 8,67;

= 8,67 + 4,38 · x.

Средняя ошибка аппроксимации вычисляется по формуле

Так как средняя ошибка аппроксимации меньше 10%, уравнение регрессии может использоваться для исследования зависимости между переменными.

Задачи

Для переменных, заданных в таблицах, оценить степень тесноты связи между переменными, построить уравнение линейной регрессии и вычислить среднюю ошибку аппроксимации.

МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ

Пример. В таблице приведены данные трех переменных экономического содержания. Построить уравнение множественной регрессии и вычислить среднюю ошибку аппроксимации.

Коэффициент уравнения множественной регрессии = b ₀ +
+ b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂ найдем после решения системы уравнений:

Вычисления сведем в таблицу:

Система уравнений для определения параметров b ₀, b ₁, b ₂:

Решаем систему методом Крамера:

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

= 12,6949 + 0,0814 x ₁ – 3,3062 x ₂.

Для вычисления средней ошибки аппроксимации вычислим значения , y – , :

y		y –
10,3	10,2916	0,0084	0,0008
10,5	10,4316	0,0684	0,0065
10,6	10,3908	0,2092	0,0197
10,7	11,1946	–0,4946	–0,0462
11,0	11,5124	–0,5124	–0,0466
11,5	11,5149	–0,0149	–0,0013
12,0	11,7363	0,2637	0,0220
12,2	11,7108	0,4892	0,0401

Окончательно:

Задачи

В таблицах приведены данные о стоимости квартиры (переменная y) в зависимости от ее общей площади (x ₁) и площади кухни (x ₂). Построить уравнение множественной регрессии и вычислить среднюю ошибку аппроксимации.

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

Пример 1. Два игрока, независимо друг от друга, записывают целые числа от двух до пяти включительно. Пусть x – число, записанное первым игроком, y – вторым. Если частное , то первый игрок получает x · y единиц выигрыша; если же , то он платит второму игроку x + y единиц. Составить платежную матрицу и найти решение игры.

Решение

Каждый из игроков располагает четырьмя вариантами поведения – чистыми стратегиями (запись одной из цифр 2, 3, 4, 5). Платежная матрица будет состоять из 4 строк (строки соответствуют стратегиям первого игрока) и 4 столбцов (столбцы соответствуют стратегиям второго игрока).

Если оба игрока записывают цифру 2, то , второй игрок получает 2 + 2 единиц выигрыша (первый игрок проигрывает 4 единицы) и соответствующий элемент платежной матрицы равен (–4). Если же первый игрок записал 3, а второй 2, то , первый получает 3 ⋅ 2 = 6 единиц (второй 6 единиц проигрывает). Соответствующий элемент платежной матрицы равен 6. Продолжая так и далее, окончательно получим следующую платежную матрицу:

Находим чистые цены игры. Нижняя чистая цена 𝛼 находится из условия:

(a_ij – элементы платежной матрицы), значит

𝛼 = max (–7, –8, –9, –10) = –7.

Аналогично, верхняя чистая цена игры определяется из условия:

Нижней чистой цене игры соответствует максиминная стратегия А₁, верхней чистой цене игры соответствует минимаксная стратегия В₄.

Так как чистые цены игры совпадают, то 𝛼 = 𝛽 = J = –7, где J – чистая цена игры. Игроки обязаны придерживаться своих максиминной и минимаксной стратегий, так как в противном случае первый игрок может просто проиграть более 7 единиц, а второй игрок вместо выигрыша в 7 единиц может проиграть 10, 15, 20 единиц.

Задачи:

Найти решение игр, представленных платежными матрицами:

1

2

3

4

5

Пример 2. Найти решение матричной игры, заданной платежной матрицей:

Решение

Проведем упрощение платежной матрицы. Так как элементы первой и четвертой строки совпадают, то соответствующие чистые стратегии (А₁ и А₄) являются дублирующими. Одну из них можно исключить из рассмотрения (например, А₁) а значит, исключить и первую строку платежной матрицы. Все элементы пятой строки меньше соответствующих элементов второй строки, т. е. стратегия А₂ доминирует над стратегией А₅. Стратегию А₅ и пятую строку матрицы не рассматриваем:

Так как элементы 3-го столбца не превосходят соответствующие элементы 1-го столбца, элементы 5-го столбца не превосходят элементы 2-го столбца, элементы 5-го столбца не превосходят элементы 6-го столбца, то стратегия B₁ доминируется стратегией B₃, стратегия B₂ доминируется стратегией B₅, стратегия B₆ доминируется стратегией B₅. Вычеркиваем в платежной матрице первый, второй и шестой столбцы. Окончательно имеем следующую платежную матрицу:

Нижняя чистая цена игры:

Верхняя чистая цена игры:

Чистые цены игры не совпадают, значит, игра не имеет решения в чистых стратегиях.

Находим смешанные стратегии игроков путем сведения матричной игры к задаче линейного программирования. Задачи линейного программирования для нашей платежной матрицы имеют вид:

f = x ₁ + x ₂ + x ₃ ® min; j = y ₁ + y ₂ + y ₃ ® max;

4 x ₁ + 2 x ₂ ³ 1; 4 y ₁ + 2 y ₂ + 2 y ₃ £ 1;

2 x ₁ + 5 x ₂ + 2 x ₃ ³ 1; 2 y ₁ + 5 y ₂ £ 1;

2 x ₁ + 5 x ₃ ³ 1; 2 y ₂ + 5 y ₃ £ 1;

x_i ³ 0, i = 1, 2, 3. y_i ³ 0, i = 1, 2, 3.

Решая данные задачи, например, с помощью компьютерной программы «Поиск решения», получим:

f = 0,398; x ₁ = 0,216; x ₂ = 0,068; x ₃ = 0,114.

j = 0,398; y = 0,102; y ₂= 0,159; y ₃= 0,136.

Цену игры и оптимальные смешанные стратегии для игроков находим из соотношений:

p ₁ = J · x ₁ = 0,543; p ₂ = J · x ₂ = 0,171;

p ₃ = J · x ₃ = 0,286;

q ₁ = J · y ₁ = 0,257; q ₂ = J · y ₂ = 0,4; q ₃ = J · y ₃ = 0,343.

Окончательно, с учетом того, что в процессе упрощения платежной матрицы были исключены стратегии A₁, A₅, B₁, B₂, B₆, оптимальные смешанные стратегии таковы:

p = (0; 0,543; 0,171; 0,286; 0);

q = (0; 0; 0,257; 0,4; 0,343; 0),

при этом оба игрока достигнут цены игры, равной 2,514.

Задачи

Найти решение игр, представленных платежными матрицами:

1

2

3

4

5

Пример 3. Объем реализации прохладительных напитков летом зависит от характера погоды и составляет 20 т в прохладный день, 25 т в обычный день и 30 т в жаркий день. Прибыль от реализации 1 т напитков равна 1,5 млн руб. Заказ дополнительного количества товара требует 2 млн руб. за 1 т напитков. Если же запасенный товар не удалось реализовать, то затраты на хранение составляют 1 млн руб. Придав описанной ситуации игровую форму, дать обоснованные рекомендации об оптимальном уровне запаса товара, обеспечивающем наивысшую эффективность работы.

Решение

Данная игра является статистической, так как один из участников игры (природа) не заинтересован в исходе игры. Природа предоставляет игроку три стратегии: П₁– прохладная погода, П₂ – обычная погода, П₃– жаркая погода. Три стратегии имеет и заинтересованный игрок: А _i – заказать товар в расчете на состояния природы П _i, i = 1, 2, 3.

Составляем платежную матрицу:

Согласно критерию Вальда, оптимальной стратегией статистика считается обычная максиминная стратегия, т. е. та, для которой обеспечивается максимин . В нашем случае 𝛼 = max (25, 25, 20) = 25 и оптимальными являются стратегии А₁ и А₂.

Для использования критерия Сэвиджа необходимо построить матрицу рисков: в каждом столбце выбираем наибольший элемент и из него вычитаем все элементы данного столбца.

Согласно критерию Сэвиджа, оптимальной считается стратегия, для которой минимизируется максимальный риск, т. е. достигается .

В нашем примере min (20, 10, 10) = 10, и оптимальными являются стратегии А₂ и А₃.

Оптимальной по критерию Гурвица считается стратегия, для которой выполняется условие:

Если λ = 0,5, то max (0,5 ⋅ 25 + 0,5 ⋅ 30; 0,5 ⋅ 25 + 0,5 ⋅ 37,5; 0,5 ⋅ 20 + 0,5 ⋅ 45) = max (27,5; 31,25; 32,5) = 32,5 и оптимальной считается стратегия А₃.

Задачи

Решить статистические игры, используя критерии Вальда, Гурвица и Сэвиджа:

1

2

3

4

5

Поиск по сайту: