СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО)

Пример 1. В типографию с тремя множительными аппаратами поступают заказы на размножение документации. Если все аппараты заняты, то вновь поступивший заказ не принимается. Среднее время работы с одним заказом составляет 30 минут. Интенсивность поступающих заявок – 1,5 заявки в час. Определить показатели эффективности работы типографии.

Решение

По условию задачи число каналов обслуживания n = 3, число мест в очереди m = 0, т. е. имеем трехканальную СМО с отказами. Интенсивность потока заявок λ = 1,5 (заявки / час), интенсивность потока обслуживания µ = = 2 (заявок / час), относительная нагрузка на систему ρ = = = 0,75 = .

Составим граф состояний СМО:

Вычислим значения дробей относительной интенсивности переходов, которые имеются на графической модели:

Вероятность свободного состояния СМО (вероятность того, что пришедшая заявка застанет систему свободной) вычисляется по формуле

ρ₀ = (1 + d ₁ + d ₁ d ₂ + d ₁ d ₂ d ₃ + … + d ₁ d ₂ … d_r)^–1,

или

ρ₀ = (1 + d ₁ + d ₁ d ₂ + d ₁ d ₂ d ₃)^–1 =

=

Задачи

Определить показатели эффективности работы СМО с отказами.

1 n = 1; λ = 3,2; µ = 4,0;

2 n = 2; λ = 1,4; µ = 0,9;

3 n = 3; λ = 5; µ = 1;

4 n = 4; λ = 8; µ = 3;

5 n = 5; λ = 2; µ = 0,4.

Пример 2. В стоматологическом кабинете 2 кресла, а в коридоре три стула для ожидания. Поток клиентов – 6 пациентов в час, среднее время обслуживания одного пациента – 90 минут. Если все стулья в коридоре заняты, то пациент не становится в очередь. Проанализировать СМО.

Решение.

По условиям задачи n = 2, m = 3,

Составим граф состояний СМО:

Запишем значения дробей относительной интенсивности переходов:

Вероятность свободного состояния:

Остальные вероятности состояний СМО определим по рекуррентной формуле

Среднюю длину очереди определим как математическое ожидание ее целочисленных ненулевых случайных значений

L q = 1 · ρ₃ + 2 · ρ₄ + 3 · ρ₅ =

= 1 · 0,0384 + 2 · 0,1729 + 3 · 0,7781 = 2,718.

Вероятность отказа совпадает с вероятностью наиболее загруженного состояния

Вероятность обслуживания

Абсолютная пропускная способность СМО

А = λ · = 0,222 · 6 = 1,332.

Среднее число обслуживаемых пациентов

Среднее число заявок в системе (пациентов, находящихся на лечении в креслах и в очереди)

По формулам Литтла находим среднее время:

– нахождения заявки в очереди (время ожидания в коридоре)

– пребывания заявки в системе (время нахождения пациента в очереди и на лечении)

Окончательно: кабинет обслуживает 22% обратившихся, или 1,33 пациента в час. В очереди находится 2,72 пациента, на лечении – 1,998 пациента, всего пациентов 2,72 + 1,998 = 4,72. В очереди приходится ждать 2,04 часа, всего на посещение врача уходит 3,54 часа. Отказ получают 78% обратившихся.

Задачи

Проанализировать эффективность работы следующих СМО:

1 n = 1; m = 1; λ = 5; µ = 6,3;

2 n = 2; m = 1; λ = 0,5; µ = 0,2;

3 n = 2; m = 2; λ = 4; µ = 1,5;

4 n = 3; m = 1; λ = 9; µ = 3;

5 n = 3; m = 2; λ = 0,2; µ = 0,01.

МОДЕЛИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
И УПРАВЛЕНИЯ

Пример.

Рассчитать временные параметры сетевого графика:

Решение

К основным параметрам сетевого графика относятся: продолжительность выполнения всего проекта (продолжительность критического пути), время свершения событий, сроки начала и окончания отдельных работ и их резервы времени.

Вначале рассчитываем ранний срок t_p (j) cвершения событий j (j = 1, 10) – самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы, или, иными словами, самый длинный предшествующий событию путь.

Для исходного события ранний срок свершения полагаем равным нулю (t_p (1) = 0). Ранний срок любого последующего события j (вычисления выполняем строго в порядке возрастания номеров событий) определяется как наибольшая сумма ранних сроков свершения каждого предшествующего события и продолжительности работы, связывающей предшествующее событие с j –м:

t_p (2) = t_p (1) + t (1, 2) = 0 + 4 = 4,

t_p (3) = max (t_p (2) + t (2, 3); t_p (1) + t (1, 3)) = max (4 + 3; 0 + 8) = 8,

t_p (4) = max (t_p (3) + t (3, 4); t_p (1) + t (1, 4)) = max (8 + 2; 0 + 9) = 10,

t_p (5) = max (t_p (2) + t (2, 5); t_p (3) + t (3, 5)) = max (4 + 5; 8 + 2) = 10,

t_p (6) = max (t_p (5) + t (5, 6); t_p (3) + t (3, 6); t_p (4) + t (4, 6)) =

= max (10 + 4; 8 + 5; 10 + 8) = 18,

t_p (7) = max (t_p (6) + t (6, 7); t_p (4) + t (4, 7)) = max (18 + 2; 10 + 6) = 20,

t_p (8) = max (t_p (5) + t (5, 8); t_p (6) + t (6, 8)) = max (10 +8; 18 + 3) = 21,

t_p (9) = max (t_p (8) + t (8, 9); t_p (6) + t (6, 9); t_p (7 + t (7, 9)) =

= max (21 +6; 18 +5; 20 +2) = 27,

t_p (10) = max (t_p (9) + t (9, 10); t_p (7) + t (7, 10)) = max (27 +5; 20 + 3) = 32.

Итак, критическое время выполнения проекта (минимальное время, за которое могут быть выполнены все работы проекта) – 32 временные единицы.

Затем вычисляем поздний срок t_n (j) свершения событий, j (j = 1, 10) – самый поздний момент времени, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для выполнения всех работ, следующих за этим событием. t_n (j) можно трактовать и как наибольшее время, до которого можно отсрочить выполнение последующих за событием j работ без увеличения критического времени проекта.

Для завершающего события поздний срок свершения полагаем равным раннему сроку свершения (критическому времени выполнения проекта):

t_n (10) = t_p (10) = 32.

Для любого другого события j (вычисления выполняются строго в порядке убывания номеров событий) t_n (j) определяется как минимум из разностей, уменьшаемым в которых является поздний срок свершения непосредственно следующего события, а вычитаемым – продолжительность работы между j –м событием со следующим:

t_n (10) = 32; t_n (9) = t_n (10) – t (9, 10) = 32 – 5 = 27,

t_n (8) = t_n (9) – t (8, 9) = 27 – 6 = 21,

t_n (7) = min (t_n (10) – t (7, 10); t_n (9) – t (9, 10)) = min (32 – 3; 27 – 2) = 25,

t_n (6) = min (t_n (7) – t (6, 7); t_n (9) – t (6, 9); t_n (8) – t (6, 8)) =

= min (25 – 2; 27 – 5; 21 – 3) = 18,

t_n (5) = min (t_n (6) – t (5, 6); t_n (8) – t (5, 8)) = min (18 – 4; 21 – 8) = 13,

t_n (4) = min (t_n (7) – t (4, 7); t_n (6) – t (4,6)) = min (25 – 6; 18 – 8) = 10,

t_n (3) = min (t_n (4) – t (3, 4); t_n (6) – t (3, 6); t_n (5) – t (3, 5)) =

= min (10 – 2; 18 – 5; 13 – 2) = 8,

t_n (2) = min (t_n (3) – t (2, 3); t_n (5) – t (2, 5)) = min (8 – 3; 13 – 5) = 4,

t_n (1) = min (t_n (4) – t (1, 4); t_n (3) – t (1, 3); t_n (2) – t (1, 2)) =

= min (10 – 9; 8 – 8; 5 – 4) = 0.

Вычисляем резервы времени событий R (j) как разность между поздним и ранним сроками свершения события: R (j) = t_n (j) – t_p (j).

Для расчета сроков свершения событий и их резервов времени вычисления производятся непосредственно на сетевом графике, используя четырехсекторную схему:

Находим критический путь. В него включаем работы, соединяющие события с нулевым резервом времени. Определение критического пути начинается с завершающего события.

Окончательно имеем следующий график (критический путь выделен жирной линией):

Определяем временные параметры работ – ранние и поздние сроки начала и окончания работ, полный и свободный резервы времени.

Ранний срок начала работы (I, j) равен раннему сроку свершения события i: t_p,H (I, j) = t_p (I).

Ранний срок окончания работы (I, j) равен сумме раннего срока свершения начального события работы и ее продолжительности: t_p,о (I, j) = t_p (I) + t (I, j) = t_p,H (I, j) + t (I, j).

Поздний срок начала работ (I, j) равен разности между поздним сроком свершения ее конечного события и продолжительностью работы: t_n,H (I, j) = t_n (j) – t (I, j) = t_n,о (I, j) – t (I, j).

Полный резерв времени работы (I, j) – максимально возможный запас времени, на который можно увеличить продолжительность работы или отсрочить начало ее выполнения при условии, что весь комплекс работ будет завершен в критический срок: R_n (I, j) = t_n (j) – t_p (i) – t (I, j).

Свободный резерв времени работы (I, j) – максимальный запас времени, на который можно увеличить продолжительность работы или отсрочить начало ее выполнения при условии, что начальное и конечное ее события наступят в свои ранние сроки: R_c (I, j) =
= t_p (j) – t_p (i) – t (I, j).

Результаты вычислений сведем в таблицу:

Задачи

Рассчитать временные параметры сетевого графика:

Поиск по сайту: