Математическое ожидание и дисперсия квазиравномерной случайной величины имеют вид

Дисперсия отличается от дисперсия равномерно распределенной случайной величины только множителем (2ⁿ+1)/(2ⁿ-1.

Треугольное распределение. Случайная величина X имеет треугольное распределение на интервале [а, b], если ее плотность вероятности вычисляется по формуле

Для этой случайной величины МХ = (4(а³+6³)-(а+6)³)/ 6(b-a)², DX = (b-a)³/24. Если X_t и Х₂ — независимые случайные величины, равномерно распределенные на интервале [a/2, b/2], то случайная величина X = X₁ + Х₂ имеет треугольное распределение на интервале [а,b], представленное на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Плотность треугольного распределения

Показательное (экспоненциальное) распределение. Случайная величина X имеет показательное (экспоненциальное) распределе­ние с параметром λ(λ> 0), если ее плотность вероятности вычисляет­ся по формуле

Для этой случайной величины MX = 1/ λ, DX = 1/ λ²; ее функция распреде­ления вычисляется по простой формуле F(u) = 1 - е^λu (u > 0). Эта распределение часто встречается в моделировании случайных процессов (оно обладает так на­зываемым свойством отсутствия последействия), рис.1.2.

Рис.1.2. Плотность показательного распределения

Нормальное распределение. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами mи σ², если ее плотность вероятности вычисляется по формуле

Для этой случайной величины MX = m, DX = σ². Нормальное распределение называют также гауссовским распределением.

Если m=0 и σ² = 1, то распределение называется стандартным нормаль­ным распределением. Линейное преобразование Y = (X - m)/σ приводит про­извольную нормально распределенную величину X к стандартному нормально­му распределению, показанному на рис. 1.3.

Фундаментальная роль, которую играет нормальное распределение в теории вероятностей и математической статистике, объясняется тем, что при достаточно широких условиях распределение суммы случайных величин с ростом числа слагаемых асимптотически сходится к нормальному (центральная предельная теорема теории ве­роятностей).

Рис.1.3. Плотность нормального распределения

Нормально распределенная случайная величина с большой вероятностью при­нимает значения, близкие к своему математическому ожиданию.

На ЭВМ невозможно получить идеальную последовательность случайных чисел хотя бы потому, что на ней можно оперировать только с конечным множеством чисел. Кроме того, для получения значений х случайной величины ζ используются формулы (алгорит­мы). Поэтому такие последовательности, являющиеся по своей сути детерминированными, называются псевдослучайными.

Полу­ченные с помощью генератора псевдослучайные последовательности чисел должны состоять из квазиравномерно распределенных чисел, содержать статистически независимые числа, быть воспроизводимыми, иметь неповторяющиеся числа, получать­ся с минимальными затратами машинного времени, занимать минимальный объем машинной памяти.

Моделирование случайных величин с помощью компьютера основано на преобразовании случайных чисел, имеющих равномерное распределение на интервале [0, 1] в случайные величины, имеющие другие распределения.

Получение случайных чисел, имеющих равномерное распределение на интервале [0, 1] возможно различными способами.

Мультипликативный способ заключается в следующем: если r_i = 0,0040353607, то r_i+1 = {40353607·r_i }mod 1, где mod 1 означает операцию извлечения из результата только дробной части после десятичной точки. Литературные источники говорят, что числа r_i, начинают повторяться после цикла из 50 миллионов чисел, так что r_50000001= r_i. Последовательность r_i получается квазиравномерно распределенной на интервале (0, 1). Однако, наиболее часто используются стандартную функцию, имеющуюся в языках программирования. Будем называть эту функцию random().

Проверкакачества последовательностей псевдослучайных чисел {x_i } на соответствие закону распределения может быть выполнена с помощью гистограмм. Интервал (x_min, x_max) разбивается на т равных частей (подинтервалов), тогда при генерации последовательности { x_i } каждое из чисел х_j с вероятностью p_j= 1/m, j= 1,2,…,m,попадает в один из подынтервалов.

Построив столбики высота которых пропорциональна количеству значений x_i, попавших в подинтервал, получим гистограмму наглядно представляющую распределение значений рассматриваемой величины.

Допустим, имеется n измерений некоторой величины х₁, х₂,..., х_n. Для построения гистограммы выполним следующие действия.

1. Определим размах выборки х₁, х₂,..., х_n, т.е. R = x_max - x_min

2. Интервал R делим на m равных участков (допустим ), желательно, чтобы 5<= m <=20; тогда ширина одного участка s = r/m.

3. Определим количество значений x_i, попавшихв каждый из m участков. Для этого используем формулу для номера участка, в который попадает значение x_i: k:=[(x_i-x_min)/s]+1, где k -номер участка в который попадает значение x_i, s -ширина одного участка, [ ] означают, что нужно взять целую часть значения в скобках. Учтем, что применение этой формулы для x_max дает k= m + 1.

4. Строим m столбцов равной ширины, высота столбцов пропорциональна количеству значений x_i , попавшихв соответствующий участок интервала.

В результате вместо n чисел получим m чисел (m<<n).

Алгоритм решения этой задачи можно представить в следующем виде (рис. 1.4).

Рис.1.4. Схема алгоритма получения случайных чисел и построения гистограммы их распределения (m =5).

Рассмотрим некоторые способы преобразования последовательности рав­номерно распределенных случайных чисел {х,} в последователь­ность с заданным законом распределения {y_j}

Формула, используемая для создания генератора случайных чисел равномерно распределенных на интервале (a, b), использующая функцию random(), имеет следующий вид:

a + (b - а)* random().

Формулы для создания генераторов случайных чисел:

- длясимметричного треугольного распределения:
a + (b - а)*(random()+random())/2;

- для нормального распределений имеющего среднее зна­чение μ, (соответствующее максимальной вероятности) и среднеквадратическое отклонение σ, (определяющее ширину или размах распределения) числа an можно получить с помощью алгоритма:

a:=0.0;

for i=1 to 12 do a:= a + random()

an:= μ + (a-6.0)* σ;

- псевдослучайную последовательность, распределенную по экспоненциальному закону можно получить с помощью алгоритма:

r:= log(random());

me:= μ *(-r); μ – математическое ожидание.

Задание.

1. Изучить теоретический материал.

2. Написать программу, реализующую алгоритм получения случайных чисел и построения гистограммы их распределения (гистограмму можно строить в Excel, для чего получаемые случайные величины выводить в лист Excel).

3. Реализовать программное получение последовательности случайной величины:
а) равномерно распределенной на заданном интервале,
б) для симметричного треугольного распределения,
в) для нормального распределения,
г) для экспоненциального распределения.

4. С помощью гистограмм проанализировать влияние количества значений (n) на качество получаемых последовательностей.

5. Рассмотреть распределение случайных величин для нескольких вариантов размера выборки (20, 100, 300 значений).

6. Представить полученные результаты преподавателю.

7. Подготовить ответы на контрольные вопросы.
Чем вызвана необходимость генерации случайных величин в имитационном моделировании?
Как можно оценить качество псевдослучайных чисел, получаемых с помощью стандартной функции языка программирования random()?
Какие исходные данные нужны для получения случайных чисел имеющих нормальное распределение, экспоненциальное распределение, симметричное треугольное распределение?

Поиск по сайту: