Определение предела функции по Коши. Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши

lim х ⟶ х0 f(x) = А – по Коши ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ х ∈ D: 0 < |х – х0| < δ, |f(x) - А| < ε

ТЕОРЕМА: Для того, чтобы lim х ⟶ х0 f(x) = А по Гейне, необходимо и достаточно, чтобы lim х ⟶ х0 f(x) = А по Коши.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость:

А = limх ⟶ х0 f(x) ⇔ по Гейне: U⁰(х0,R) ∀ {хn} ⊂ U⁰(х0,R): lim _{n ⟶ ∞} х n = х0, lim _{n ⟶ ∞} f(x n) = А

Предположим противное, А ≠ limх ⟶ х0 f(x) по Коши ⇔

Противоречие определению по Гейне по Коши

Достаточность:

По Коши

по Гейне. Теорема доказана.

Односторонние пределы (слева и справа) функции по Коши. Теорема о существовании предела функции(в терминах односторонних пределов). Определение предела функции в терминах окрестностей.

Односторонние пределы:

Теорема: о существовании предела функции

чтобы н. и д.

, ^: =

Необх:

⇔ по Гейне: U⁰(х0, ε ) ∀ {х_n} ⊂ U⁰(х₀,ε): lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀, lim _{n ⟶ ∞} f(x _n) = А

∀ {х_n} ⊂ (х₀,х₀+ε): lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀, lim _{n ⟶ ∞} f(x _n) = А

∀ {х_n} ⊂ (х₀-ε,х₀): lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀, lim _{n ⟶ ∞} f(x _n) = А

∀ {х_n} ⊂ (х₀-ε,х₀) ⊂ U⁰(х₀,ε): lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀ ⇒ lim _{n ⟶ ∞} f(x _n) = А

Дост:

= А =

⇒ ∃ U⁰(х₀,ε) - f(x) определена, ∀ {х_n} ⊂ U⁰(х₀,ε) lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀

Выделим подпосл. , > , < . Если одно из множеств конечно (пусть ), то {х_n} сходится к х₀ справа. lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀+0 ⇒

Если подпоследовательности бесконечны, то пределы этих подпоследовательностей равны между собой, равны lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀ ⇒ + = А, - = А,

по Гейне,

Теорема доказана.

Определение предела функции в терминах окрестностей:

23.Кр. Коши сущ. предела ф-ии.
Т.(Кр. Коши) Ǝ н. и д. ∀ Ɛ>0 Ǝ δ= δ(Ɛ)>0: ∀ x,xʹϵŮ(x₀, δ) |f(x)-f(xʹ)|< Ɛ
Док-во:
Н. Ǝ =A<=>(по Коши) ∀ Ɛʹ>0 Ǝ δ>0:
∀ xϵŮ(x₀, δ) |f(x)-A|< Ɛʹ
∀ xʹϵŮ(x₀, δ) |f(xʹ)-A|< Ɛʹ
|f(x)-f(xʹ)|=|(f(x)-A)+(A-f(xʹ))|≤|f(x)-A|+|f(xʹ)-A|≤ Ɛʹ+ Ɛʹ=2 Ɛʹ= Ɛ
∀ Ɛ>0 (Ɛʹ= ) Ǝ δ>0 ∀ x,xʹϵŮ(x₀, δ): |f(x)-f(xʹ)|<Ɛ
Д. ∀ Ɛ>0 Ǝ δ>0: ∀ x,xʹϵŮ(x₀, δ) |f(x)-f(xʹ)|< Ɛ (усл. Коши) => Ǝ ?
∀ {x_n}ϵ Ů(x₀,R): = ₀ <=> {x_n}-фунд.
∀ δ>0 Ǝ N=N(δ): ∀ n≥N, |x_n-x₀|<δ => x_nϵŮ(x₀, δ)
∀ n≥N ∀ m≥N => x_n,x_mϵŮ(x₀, δ) |f(x_n)-f(x_m)| < Ɛ
∀ Ɛ>0 (Ǝ δ>0) Ǝ N=N(Ɛ): ∀ n≥N ∀ m≥N |f(x_n)-f(x_m)| < Ɛ
=>{f(x_n)}-фунд. => {f(x_n)}-сход. => Ǝ A=
|f(x)-A|=|(f(x)-f(x_n))+(f(x_n)-A)|≤
A= <=>(def) ∀ Ɛʹ>0 Ǝ N₁=N₁(Ɛʹ): ∀ n≥N₁ |f(x_n)-A|< Ɛʹ
n-фикс., n≥N₁
≤|f(x)-f(x_n)|+|f(x_n)-A|< Ɛʹ+ Ɛʹ=2 Ɛʹ= Ɛ
Усл. Коши: ∀ Ɛʹ>0 Ǝ δ= δ(Ɛʹ)>0: ∀ x,xʹϵŮ(x₀, δ) |f(x)-f(xʹ)|< Ɛʹ
т.к. = ₀ => ∀ δ>0 Ǝ N₂=N₂(δ): ∀ n≥N₂ |x_n-x₀|<δ => x₀ϵŮ(x₀, δ)
n-фикс. n≥max(N₁,N₂)
=>|f(x_n)-A|< Ɛʹ
∀ x,x_nϵŮ(x₀, δ) (xʹ=x_n) => |f(x)-f(x_n)|< Ɛʹ
∀ Ɛ>0 (Ɛʹ= ) Ǝ δ= δ(Ɛ): ∀ xϵŮ(x₀, δ): |f(x)-A|<Ɛ
=> (по Коши)

24. Определение ограниченной на множестве функции.

Ограниченность функции, имеющей предел.

Сохранение знака функции, имеющей предел.

f(x) -ограниченная на множестве D ó f(x) M

T. f(x) имеет предел в т. x lim f(x) (x ,R) f(x)-ограничена в (x ,R)

A=lim f(x) (по Коши) ε>0 δ= δ(ε) ε

ε =1 R= δ(1)

Поиск по сайту: