|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Определение предела функции по Коши. Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Кошиlim х ⟶ х0 f(x) = А – по Коши ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ х ∈ D: 0 < |х – х0| < δ, |f(x) - А| < ε ТЕОРЕМА: Для того, чтобы lim х ⟶ х0 f(x) = А по Гейне, необходимо и достаточно, чтобы lim х ⟶ х0 f(x) = А по Коши. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Необходимость: А = limх ⟶ х0 f(x) ⇔ по Гейне: U0(х0,R) ∀ {хn} ⊂ U0(х0,R): lim n ⟶ ∞ х n = х0, lim n ⟶ ∞ f(x n) = А Предположим противное, А ≠ limх ⟶ х0 f(x) по Коши ⇔ Противоречие определению по Гейне по Коши Достаточность: По Коши по Гейне. Теорема доказана. Односторонние пределы (слева и справа) функции по Коши. Теорема о существовании предела функции(в терминах односторонних пределов). Определение предела функции в терминах окрестностей. Односторонние пределы: Теорема: о существовании предела функции чтобы н. и д. , : = Необх: ⇔ по Гейне: U0(х0, ε ) ∀ {хn} ⊂ U0(х0,ε): lim n ⟶ ∞ х n = х0, lim n ⟶ ∞ f(x n) = А ∀ {хn} ⊂ (х0,х0+ε): lim n ⟶ ∞ х n = х0, lim n ⟶ ∞ f(x n) = А ∀ {хn} ⊂ (х0-ε,х0): lim n ⟶ ∞ х n = х0, lim n ⟶ ∞ f(x n) = А ∀ {хn} ⊂ (х0-ε,х0) ⊂ U0(х0,ε): lim n ⟶ ∞ х n = х0 ⇒ lim n ⟶ ∞ f(x n) = А Дост: = А = ⇒ ∃ U0(х0,ε) - f(x) определена, ∀ {хn} ⊂ U0(х0,ε) lim n ⟶ ∞ х n = х0 Выделим подпосл. , > , < . Если одно из множеств конечно (пусть ), то {хn} сходится к х0 справа. lim n ⟶ ∞ х n = х0+0 ⇒ Если подпоследовательности бесконечны, то пределы этих подпоследовательностей равны между собой, равны lim n ⟶ ∞ х n = х0 ⇒ + = А, - = А, по Гейне, Теорема доказана. Определение предела функции в терминах окрестностей:
23.Кр. Коши сущ. предела ф-ии.
24. Определение ограниченной на множестве функции. Ограниченность функции, имеющей предел. Сохранение знака функции, имеющей предел. f(x) -ограниченная на множестве D ó f(x) M
T. f(x) имеет предел в т. x lim f(x) (x ,R) f(x)-ограничена в (x ,R) A=lim f(x) (по Коши) ε>0 δ= δ(ε) ε ε =1 R= δ(1)
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |