АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Определение предела функции по Коши. Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши

Читайте также:
  1. D. Определение звука в слове (начало, середина, конец слова)
  2. I Этап. Определение проблемы
  3. I. Прокурор: понятие, положение, функции и профессиональные задачи.
  4. I. Функции окончания «-s»
  5. I. Функции окончания «-s»
  6. I.2. Определение расчетной длины и расчетной нагрузки на колонну
  7. III Участники игры и их функции
  8. III. Анализ изобразительно-выразительных средств, определение их роли в раскрытии идейного содержания произведения, выявлении авторской позиции.
  9. III. Методы оценки функции почек
  10. III. Полномочия и функции территориального фонда
  11. IV. Обмен в пределах подразделения II. Необходимые жизненные средства и предметы роскоши
  12. IV. Определение победителей.

lim х ⟶ х0 f(x) = А – по Коши ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ х ∈ D: 0 < |х – х0| < δ, |f(x) - А| < ε

ТЕОРЕМА: Для того, чтобы lim х ⟶ х0 f(x) = А по Гейне, необходимо и достаточно, чтобы lim х ⟶ х0 f(x) = А по Коши.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость:

А = limх ⟶ х0 f(x) ⇔ по Гейне: U0(х0,R) ∀ {хn} ⊂ U0(х0,R): lim n ⟶ ∞ х n = х0, lim n ⟶ ∞ f(x n) = А

Предположим противное, А ≠ limх ⟶ х0 f(x) по Коши ⇔


Противоречие определению по Гейне по Коши

Достаточность:

По Коши

по Гейне. Теорема доказана.

Односторонние пределы (слева и справа) функции по Коши. Теорема о существовании предела функции(в терминах односторонних пределов). Определение предела функции в терминах окрестностей.

Односторонние пределы:

Теорема: о существовании предела функции

чтобы н. и д.

, : =

Необх:

⇔ по Гейне: U0(х0, ε ) ∀ {хn} ⊂ U0(х0,ε): lim n ⟶ ∞ х n = х0, lim n ⟶ ∞ f(x n) = А

∀ {хn} ⊂ (х0,х0+ε): lim n ⟶ ∞ х n = х0, lim n ⟶ ∞ f(x n) = А

∀ {хn} ⊂ (х0-ε,х0): lim n ⟶ ∞ х n = х0, lim n ⟶ ∞ f(x n) = А

∀ {хn} ⊂ (х0-ε,х0) ⊂ U0(х0,ε): lim n ⟶ ∞ х n = х0 ⇒ lim n ⟶ ∞ f(x n) = А

Дост:

= А =

⇒ ∃ U0(х0,ε) - f(x) определена, ∀ {хn} ⊂ U0(х0,ε) lim n ⟶ ∞ х n = х0

Выделим подпосл. , > , < . Если одно из множеств конечно (пусть ), то {хn} сходится к х0 справа. lim n ⟶ ∞ х n = х0+0 ⇒

Если подпоследовательности бесконечны, то пределы этих подпоследовательностей равны между собой, равны lim n ⟶ ∞ х n = х0 ⇒ + = А, - = А,

по Гейне,

Теорема доказана.

Определение предела функции в терминах окрестностей:

 

 

23.Кр. Коши сущ. предела ф-ии.
Т.(Кр. Коши) Ǝ н. и д. ∀ Ɛ>0 Ǝ δ= δ(Ɛ)>0: ∀ x,xʹϵŮ(x0, δ) |f(x)-f(xʹ)|< Ɛ
Док-во:
Н. Ǝ =A<=>(по Коши) ∀ Ɛʹ>0 Ǝ δ>0:
∀ xϵŮ(x0, δ) |f(x)-A|< Ɛʹ
∀ xʹϵŮ(x0, δ) |f(xʹ)-A|< Ɛʹ
|f(x)-f(xʹ)|=|(f(x)-A)+(A-f(xʹ))|≤|f(x)-A|+|f(xʹ)-A|≤ Ɛʹ+ Ɛʹ=2 Ɛʹ= Ɛ
∀ Ɛ>0 (Ɛʹ= ) Ǝ δ>0 ∀ x,xʹϵŮ(x0, δ): |f(x)-f(xʹ)|<Ɛ
Д. ∀ Ɛ>0 Ǝ δ>0: ∀ x,xʹϵŮ(x0, δ) |f(x)-f(xʹ)|< Ɛ (усл. Коши) => Ǝ ?
∀ {xn}ϵ Ů(x0,R): = 0 <=> {xn}-фунд.
∀ δ>0 Ǝ N=N(δ): ∀ n≥N, |xn-x0|<δ => xnϵŮ(x0, δ)
∀ n≥N ∀ m≥N => xn,xmϵŮ(x0, δ) |f(xn)-f(xm)| < Ɛ
∀ Ɛ>0 (Ǝ δ>0) Ǝ N=N(Ɛ): ∀ n≥N ∀ m≥N |f(xn)-f(xm)| < Ɛ
=>{f(xn)}-фунд. => {f(xn)}-сход. => Ǝ A=
|f(x)-A|=|(f(x)-f(xn))+(f(xn)-A)|≤
A= <=>(def) ∀ Ɛʹ>0 Ǝ N1=N1(Ɛʹ): ∀ n≥N1 |f(xn)-A|< Ɛʹ
n-фикс., n≥N1
≤|f(x)-f(xn)|+|f(xn)-A|< Ɛʹ+ Ɛʹ=2 Ɛʹ= Ɛ
Усл. Коши: ∀ Ɛʹ>0 Ǝ δ= δ(Ɛʹ)>0: ∀ x,xʹϵŮ(x0, δ) |f(x)-f(xʹ)|< Ɛʹ
т.к. = 0 => ∀ δ>0 Ǝ N2=N2(δ): ∀ n≥N2 |xn-x0|<δ => x0ϵŮ(x0, δ)
n-фикс. n≥max(N1,N2)
=>|f(xn)-A|< Ɛʹ
∀ x,xnϵŮ(x0, δ) (xʹ=xn) => |f(x)-f(xn)|< Ɛʹ
∀ Ɛ>0 (Ɛʹ= ) Ǝ δ= δ(Ɛ): ∀ xϵŮ(x0, δ): |f(x)-A|<Ɛ
=> (по Коши)

 

24. Определение ограниченной на множестве функции.

Ограниченность функции, имеющей предел.

Сохранение знака функции, имеющей предел.

f(x) -ограниченная на множестве D ó f(x) M

 

T. f(x) имеет предел в т. x lim f(x) (x ,R) f(x)-ограничена в (x ,R)

A=lim f(x) (по Коши) ε>0 δ= δ(ε) ε

ε =1 R= δ(1)

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)