 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Определение числа «е»
(1)
Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число 
убывает, поэтому величины 
возрастают. Поэтому последовательность 
— возрастающая, при этом
(2).
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство
Т.к. k!≥2k-1 то 1/k! ≤ 1/2k-1
.
Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
.
Поэтому 
(3).
Итак, последовательность ограничена сверху, при этом 
выполняются неравенства (2) и (3): 
.
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность 
монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е. 
Подпоследовательность. Теорема о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности, бесконечно большой последовательности.
{у n } – подпоследовательность последовательности {х n}, если {nk} ⊂ N – строго монотонно возрастающая, такая что {у n } = {х nk}
ТЕОРЕМА: Любая подпоследовательность сходящейся последовательности является сходящейся.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
lim n ⟶ ∞ х n = lim n ⟶ ∞ х nk?
lim n ⟶ ∞ х n =a ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε) ∀ n ≥ N |х n - а| < ε
nk ≥ k ∀ k ∈ N
Тогда, ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ k ≥ N (nk ≥ k ≥ N) | х nk -а|< ε ⇒ lim n ⟶ ∞ х nk =a = lim n ⟶ ∞ х n – доказано.
ТЕОРЕМА: Если предел последовательности равен +∞, то предел её подпоследовательности также равен +∞.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
lim n ⟶ ∞ х n =+∞ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε) ∀ n ≥ N х n > 1/ε
Тогда, ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ k ≥ N (nk ≥ k ≥ N) х nk > 1/ε ⇒ lim n ⟶ ∞ х nk =+∞ = lim n ⟶ ∞ х n – доказано.
ТЕОРЕМА: Если предел последовательности равен -∞, то предел её подпоследовательности также равен -∞.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
lim n ⟶ ∞ х n =-∞ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε) ∀ n ≥ N х n < -1/ε
Тогда, ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ k ≥ N (nk ≥ k ≥ N) х nk < -1/ε ⇒ lim n ⟶ ∞ х nk =-∞ = lim n ⟶ ∞ х n – доказано.
ТЕОРЕМА: Если последовательность бесконечно большая, то и её подпоследовательность бесконечно большая.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
lim n ⟶ ∞ х n =∞ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε) ∀ n ≥ N |х n|>1/ε
Тогда, ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ k ≥ N (nk ≥ k ≥ N) |х nk| >1/ε ⇒ lim n ⟶ ∞ х nk =∞= lim n ⟶ ∞ х n – доказано.
Поиск по сайту: