АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости последовательности

Читайте также:
  1. T - критерий Стьюдента
  2. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона
  3. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона
  4. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона
  5. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона в оценке качества уравнений, построенных по временным рядам.
  6. Автокорреляция остатков. Критерий Дарбина- Уотсона
  7. Естествознание - фундаментальная наука
  8. КРИТЕРИЙ 6. Новизна, актуальность и творческий подход.
  9. Критерий Байеса оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
  10. Критерий Гермейера оптимальности чистых и смешанных стратегий относительно выигрышей.
  11. Критерий Дарбина-Уотсона обнаружения автокорреляции остатков модели регрессии
  12. Критерий Дикки-Фуллера проверки наличия единичных корней

n} – фундаментальная ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ n ≥ N ∃ m ≥ N |х n – х m | < ε ⇔ ∀ε>0 ∃N(ε) ∀n≥N ∀p∈N |хn+pn|<ε

ТЕОРЕМА: (КРИТЕРИЙ КОШИ) Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы последовательность была фундаментальной.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость:n} – сходящаяся ⇒ {х n} – фундаментальная.

n} – сходящаяся ⇔ ∃ а ∈ R а = lim n х n ⇔ ∀ε'>0 ∃ N(ε') ∀ n ≥N |хn -а|<ε'
n – х m| = |х n –а + а – х m| ≤ |х n –а| + |х m – а|

∀ m > N ∀ n > N |х n –а| + |х m – а| < ε' + ε' = 2*ε'
∀ ε > 0 (ε' = ε / 2) ∃ N (ε') ∀ n > N ∀ m > N |х n – х m| < ε - {х n} – фундаментальная

Достаточность:n} – фундаментальная ⇒ {х n} – сходящаяся.

∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ n ≥ N ∃ m ≥ N |х n – х m | < ε
Покажем, что {х n} – сходящаяся:
ε = 1 ∃ N1: ∀ n ≥ N1, m = N1: |х n – х N1| < 1
х N1 –1 < х n < х N1 +1

Пусть d = max (|х N1 –1|, | х N1 +1|), тогда ∀ n ≥ N1 хn < |d|
Пусть М = max (d, |х1|,…, |х N1 –1|). Тогда, ∀ n ∈ N |хn| ≤ М ⇒ {х n} – ограниченная

По теореме Больцано-Вейерштрасса: ∃ {х nk} – сходящаяся ⇒ ∃а = lim k х nk

а = lim n х n?

| х n –а | = | х n - х nk + х nk –а | ≤ | х n - х nk | + | х nk –а |

∀ k > N1 nk ≥ k > N1 ⇒ ∀ n ≥ N1, ∀ k > N1 | х n - х nk | < ε', так как {х n} – фундаментальная
а = lim k х nk ⇔ ∀ε'>0 ∃N2(ε') ∀k≥N2 | х nk –а | < ε'

| х n - х nk | + | х nk –а | < 2*ε'

∀ ε > 0 (ε' = ε/2) ∃ N = max (N1(ε'),N2(ε')) ∀n≥N | х n –а | < ε ⇒ {х n} – сходящаяся – доказано.

18) Частичный предел последовательности. Верхний, нижний пределы последовательсноти. Теорема о необходимом и достаточном условии того, что а = --lim n х n (а = --lim n х n). Теорема о необходимом и достаточном условии сходящейся последовательности (в терминах верхнего и нижнего пределов).

а – частичный предел {х n} ⇔ ∃ {х nk} – сходящаяся, а = lim k х nk

а – верхний предел {х n} ⇔ а – максимальный из частичных пределов

а – нижний предел {х n} ⇔ а – минимальный из частичных пределов

ТЕОРЕМА: Для того, чтобы число а было верхним пределом {х n}, необходимо и достаточно ∀ε>0:
1) ∃ N(ε) ∀ n ≥ N хn < а + ε.
2) ∀ k ∈ N ∃ nk ≥ k х nk > а – ε

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость: а = --lim n х n ⇒ ∃ {х nk}: а = lim k х nk ⇒ правее а-ε бесконечное число элементов.

Предположим противное, правее а+ε лежит бесконечное число элементов.

Тогда, х n ≥ а+ε ⇒ х nk ≥ а+ε ⇒ lim k х nk ≥ а+ε > а – пришли к противоречию.

Достаточность: ∀ε>0:
1) ∃ N(ε) ∀ n ≥ N хn < а + ε.
2) ∀ k ∈ N ∃ nk ≥ k х nk > а – ε

(1) ∀ k ≥ N nk ≥k: хnk < а + ε

(2) х nk > а – ε ⇒ ∃ а = lim k х nk – частичный предел.

а – максимальный частичный предел?

Предположим противное, ∃b>а и b = lim m х nm ⇒ ∀ ε > 0 в ε-окрестности точки b лежит бесконечное количество точек { х nm } ⇒ бесконечное количество точек { х n }.

Пусть ε = b-a/2. Тогда, правее точки а+ε = b-ε находится бесконечноt количество точек, что противоречит условию 1 – доказано.

ТЕОРЕМА: Для того, чтобы число а было нижним пределом {х n}, необходимо и достаточно ∀ε>0:
1) ∃ N(ε) ∀ n ≥ N хn > а - ε.
2) ∀ k ∈ N ∃ nk ≥ k х nk < а + ε

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость: а = -- lim n х n ⇒ а = lim k х nk ⇒ левее а+ε бесконечное число элементов – (2) доказано.

Предположим противное, левее а-ε лежит бесконечное число элементов.

Тогда, х n ≤ а-ε ⇒ х nk ≤а-ε ⇒ lim k х nk ≤а-ε < а – пришли к противоречию.

Достаточность: ∀ε>0:
1) ∃ N(ε) ∀ n ≥ N хn > а - ε.
2) ∀ k ∈ N ∃ nk ≥ k х nk < а + ε

∀ ε ∃ N(ε) ∀ k ≥ N nk ≥ k: хnk > а – ε (1)
х nk < а + ε (2) ⇒ а – частичный предел.

а – минимальный частичный предел?

Предположим противное, существует b, меньшее чем а, и b= lim m х nm. Тогда, ∀ ε > 0 в эпсилон окрестности бесконечное число элементов х nm, а следовательно и х n.

Пусть ε = b-a/2. Тогда, левее b+ε =а-ε находится бесконечное количество элементов, что противоречит пункту 1. Доказано.

ТЕОРЕМА: Для того, чтобы {хn} была сходящейся, необходимо и достаточно, -- lim n х n = --lim n хn

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость: ∃ а=lim n х n ⇒ ∀ {хnk} lim k х nk = a ⇒ -- lim n х n = --lim n хn

Достаточность: -- lim n х n = --lim n хn = а

∀ ε > 0 ∃ N1(ε): ∀ n ≥ N1 хn < а+ε
∀ ε > 0 ∃ N2(ε): ∀ n ≥ N2 хn > а-ε

N = max (N1,N2). Тогда, ∀ n ≥ N а-ε < хn < а+ε ⇒ а=lim n х n - Доказано.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)