|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости последовательности{х n} – фундаментальная ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ n ≥ N ∃ m ≥ N |х n – х m | < ε ⇔ ∀ε>0 ∃N(ε) ∀n≥N ∀p∈N |хn+p-х n|<ε ТЕОРЕМА: (КРИТЕРИЙ КОШИ) Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы последовательность была фундаментальной. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Необходимость: {х n} – сходящаяся ⇒ {х n} – фундаментальная. {х n} – сходящаяся ⇔ ∃ а ∈ R а = lim n ⟶ ∞ х n ⇔ ∀ε'>0 ∃ N(ε') ∀ n ≥N |хn -а|<ε' ∀ m > N ∀ n > N |х n –а| + |х m – а| < ε' + ε' = 2*ε' Достаточность: {х n} – фундаментальная ⇒ {х n} – сходящаяся. ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ n ≥ N ∃ m ≥ N |х n – х m | < ε Пусть d = max (|х N1 –1|, | х N1 +1|), тогда ∀ n ≥ N1 хn < |d| По теореме Больцано-Вейерштрасса: ∃ {х nk} – сходящаяся ⇒ ∃а = lim k ⟶ ∞ х nk а = lim n ⟶ ∞ х n? | х n –а | = | х n - х nk + х nk –а | ≤ | х n - х nk | + | х nk –а | ∀ k > N1 nk ≥ k > N1 ⇒ ∀ n ≥ N1, ∀ k > N1 | х n - х nk | < ε', так как {х n} – фундаментальная | х n - х nk | + | х nk –а | < 2*ε' ∀ ε > 0 (ε' = ε/2) ∃ N = max (N1(ε'),N2(ε')) ∀n≥N | х n –а | < ε ⇒ {х n} – сходящаяся – доказано. 18) Частичный предел последовательности. Верхний, нижний пределы последовательсноти. Теорема о необходимом и достаточном условии того, что а = --lim n ⟶ ∞ х n (а = --lim n ⟶ ∞ х n). Теорема о необходимом и достаточном условии сходящейся последовательности (в терминах верхнего и нижнего пределов). а – частичный предел {х n} ⇔ ∃ {х nk} – сходящаяся, а = lim k ⟶ ∞ х nk а – верхний предел {х n} ⇔ а – максимальный из частичных пределов а – нижний предел {х n} ⇔ а – минимальный из частичных пределов ТЕОРЕМА: Для того, чтобы число а было верхним пределом {х n}, необходимо и достаточно ∀ε>0: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Необходимость: а = --lim n ⟶ ∞ х n ⇒ ∃ {х nk}: а = lim k ⟶ ∞ х nk ⇒ правее а-ε бесконечное число элементов. Предположим противное, правее а+ε лежит бесконечное число элементов. Тогда, х n ≥ а+ε ⇒ х nk ≥ а+ε ⇒ lim k ⟶ ∞ х nk ≥ а+ε > а – пришли к противоречию. Достаточность: ∀ε>0: (1) ∀ k ≥ N nk ≥k: хnk < а + ε (2) х nk > а – ε ⇒ ∃ а = lim k ⟶ ∞ х nk – частичный предел. а – максимальный частичный предел? Предположим противное, ∃b>а и b = lim m ⟶ ∞ х nm ⇒ ∀ ε > 0 в ε-окрестности точки b лежит бесконечное количество точек { х nm } ⇒ бесконечное количество точек { х n }. Пусть ε = b-a/2. Тогда, правее точки а+ε = b-ε находится бесконечноt количество точек, что противоречит условию 1 – доказано. ТЕОРЕМА: Для того, чтобы число а было нижним пределом {х n}, необходимо и достаточно ∀ε>0: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Необходимость: а = -- lim n ⟶ ∞ х n ⇒ а = lim k ⟶ ∞ х nk ⇒ левее а+ε бесконечное число элементов – (2) доказано. Предположим противное, левее а-ε лежит бесконечное число элементов. Тогда, х n ≤ а-ε ⇒ х nk ≤а-ε ⇒ lim k ⟶ ∞ х nk ≤а-ε < а – пришли к противоречию. Достаточность: ∀ε>0: ∀ ε ∃ N(ε) ∀ k ≥ N nk ≥ k: хnk > а – ε (1) а – минимальный частичный предел? Предположим противное, существует b, меньшее чем а, и b= lim m ⟶ ∞ х nm. Тогда, ∀ ε > 0 в эпсилон окрестности бесконечное число элементов х nm, а следовательно и х n. Пусть ε = b-a/2. Тогда, левее b+ε =а-ε находится бесконечное количество элементов, что противоречит пункту 1. Доказано. ТЕОРЕМА: Для того, чтобы {хn} была сходящейся, необходимо и достаточно, -- lim n ⟶ ∞ х n = --lim n ⟶ ∞ хn ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Необходимость: ∃ а=lim n ⟶ ∞ х n ⇒ ∀ {хnk} lim k ⟶ ∞ х nk = a ⇒ -- lim n ⟶ ∞ х n = --lim n ⟶ ∞ хn Достаточность: -- lim n ⟶ ∞ х n = --lim n ⟶ ∞ хn = а ∀ ε > 0 ∃ N1(ε): ∀ n ≥ N1 хn < а+ε N = max (N1,N2). Тогда, ∀ n ≥ N а-ε < хn < а+ε ⇒ а=lim n ⟶ ∞ х n - Доказано. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |