Собственные значения и векторы матрицы

Понятие о собственных значениях и собственных векторах

Рассмотрим линейную однородную систему n дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которую можно записать в матричном виде как

где приняты следующие обозначения:

Будем искать нетривиальные решения однородной системы в виде

где V ≠ 0 − постоянный n-мерный вектор, который мы определим позже.

Подставляя указанное пробное выражение для X(t) в систему уравнений, получаем:

Данное уравнение означает, что при действии линейного оператора A вектор V преобразуется в коллинеарный вектор λV. Вектор, обладающий таким свойством, называется собственным векторомлинейного преобразования A, а число λ называется собственным значением.

Таким образом, мы приходим к выводу, что для того, чтобы векторная функция X(t) = [exp (λt)V] являлась решением линейной однородной системы, необходимо и достаточно, чтобы число λ было собственным значением, а вектор V − соответствующим собственным вектором линейного преобразования A.

Как видно, решение линейной системы уравнений можно построить алгебраическим методом. Поэтому приведем далее некоторые необходимые сведения из линейной алгебры.

Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования

Вернемся к полученному выше матрично-векторному уравнению

Его можно переписать как

где 0 означает нулевой вектор.

Вспомним, что произведение единичной матрицы I порядка n и n-мерного вектора V равно самому вектору:

Поэтому наше уравнение принимает вид:

Из последнего соотношения следует, что определитель матрицы A −λI равен нулю:

Действительно, если предположить, что det (A −λI) ≠ 0, то у этой матрицы будет существовать обратная матрица (A −λI)⁻¹. Умножая обе части уравнения слева на обратную матрицу (A −λI)⁻¹, получим:

Это, однако, противоречит определению собственного вектора, который должен быть отличен от нуля. Следовательно, собственные значения λ должны удовлетворять уравнению

которое называется характеристическим уравнением линейного преобразования A. Многочлен в левой части уравнения называется характеристическим многочленом линейного преобразования (или линейного оператора) A. Множество всех собственных значений λ₁, λ₂,..., λ_n образует спектр оператора A.

Итак, первый шаг в нахождении решения системы линейных дифференциальных уравнений − это решение характеристического уравнения и нахождение всех собственных значений λ₁, λ₂,..., λ_n.

Далее, подставляя каждое собственное значение λ_i в систему уравнений

и решая ее, находим собственные векторы, соответствующие данному собственному значению λ_i. Заметим, что после подстановки собственных значений система становится вырожденной, т.е. некоторые уравнения будут одинаковыми. Это следует из того, что определитель такой системы равен нулю. В результате система уравнений будет иметь бесконечное множество решений, т.е. собственные векторы можно определить с точностью до постоянного коэффициента.

Фундаментальная система решений однородной линейной системы

Раскладывая определитель характеристического уравнения n-го порядка, мы получаем в общем случае следующее уравнение:

где

Здесь число k_i называется алгебраической кратностью собственного значения λ_i. Для каждого такого собственного значения существует s_i линейно независимых собственных векторов. Число s_i называетсягеометрической кратностью собственного значения λ_i. В курсе линейной алгебры доказывается, что геометрическая кратность s_i не превосходит алгебраическую кратность k_i, т.е. выполняется соотношение

ОПР: число l называется собственным значением матрицы А порядка n,если существует такой ненулевой вектор ,что выполняется равенство A При этом вектор назыв собственным вектором матрицы А.

Поиск по сайту: