Понятие линейной зависимости систем векторов

Понятие n-мерного вектора, осн опред.

Опр. 1 Любой упорядоченный набор из n действительных чисел а1, а2,…,аn называется n-мерным вектором а; при этом числа, составляющие упомянутый набор, называются координатами(компонентами) вектора а.

Опр. 2 Совокупность всех n-мерных векторов называется n-мерным векторным пространством Rn

Опр.3 Два вектора с одним и тем же числом координат а=(а1,а2,…,аn) и b=(b1,b2,…,bn) называются равными, если их соответствующие координаты равны, т е а1=b1, аn=bn.

Опр. 4 Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым 0=(0, 0,..., 0).

Операции над векторами,осн св-ва

Операции

1)сумма векторов c=a+b=(a1+b1,a2+b2,an+bn)

2)произведение вектора на число c= la=(la1,la2,lan)

3)скалярным произведением векторов a,b называется число, состоящее из суммы произведений соотв корд этих векторов ab=a1b1+a2b2+anbn

Св-ва скалярного произведения:

1)ab=ba

2)(la)b=a(lb)=b(la)

3)a(b+c)=ab+ac

4)aa>0; a≠0; aa=0; a=0

4)для векторов n-мерного векторного пространства модуль вектора a и угол φ между двумя нулевыми векторами a и b опр по ф-ле:

ФОРМУЛА

Необх усл для формулы cosφ ≤1 гарантируется неравенством Коши-Буняковского,справедливого для любых векторов и.

Векторыa и b называются ортогональными, если их скалярное произвед равно нулю

ab=0

Св-ва

1) a + b=b + a переместительное св-во

2) (а + Ь) + с = а + (Ь + с) сочетательное

3) l (а + Ь) = lа + lЬ, гд l — действительное число;

4) (l + m)а = lа + mа, где m и l — действит числа;

5) l(mа)= (ml)а

6) а+0=а

7) –а=(-1)а

а+(-а)=0

8) 0а=0

Понятие линейной зависимости систем векторов

Система векторов а1,а2,аk

Система нулевых в-ов назыв линейно зависимой,если существуют такие числа l1,l2,lк, не равные одновременно нулю,что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору l1а1+l2а2+…+lkаk=0

Если же равенство для данной системы векторов возможно лишь при l1=l2=lк=0, то эта система век-ов наз линейно независимой.

Св-ва

1) сис-ма,состоящ из 1 вектора линейно зависима

2) сис-ма,содерж нулевой вектор, всегда лин завис

3) сис-ма,содерж более 1 вектора, лин завис тогда и только тогда, когда среди ее векторов содержится по крайней мере один вектор, который линейно выражается через остальные.

Геометрический смысл лин завис очевиден для случаев двумерных векторов на плоскости и трехмерных векторов в пространстве. В случае двух векторов,когда один выражается через другой

а1=lа2 т.е. эти век коллинеарны(нах-ся на параллельных прямых). В пространственном случае линейной завис трех векторов они параллельны одной плоскости,т.е. компланарны.

ТЕОРЕМА: в пространстве R ⁿ любая система, содержащая m векторов,линейно зависима при m>n

Поиск по сайту: