|
|||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Описание общего решенияВ каждой строке приведенной СЛАУ есть ведущий элемент. Неизвестные, отвечающие ведущим элементам, назовем связанными, остальные неизвестные — свободными. Например, если дана приведенная расширенная матрица , то связанными неизвестными в соответствующей СЛАУ будут и , а свободными и . Так как в каждом уравнении приведенной СЛАУ содержится только одно связанное неизвестное, хотя и определяемое неединственным способом, отсутствующее в остальных уравнениях, то придавая свободным неизвестным произвольные значения, мы единственным образом определяем значения связанных неизвестных, а, значит, и решение СЛАУ. Ясно, что при наличии свободных неизвестных СЛАУ будет неопределенной и имеет бесчисленное множество решений. Описание общего решения дается следующим образом. Пусть, например переменные связанные, а переменные свободные, тогда матрица приведенной СЛАУ (с точностью до отброшенных нулевых строк) имеет вид
Здесь, не нарушая общности, мы считаем, что ведущие элементы равны 1. Этого всегда можно добиться с помощью элементарных преобразований 2-го типа. Сама приведенная СЛАУ имеет вид:
а формулы, выражающие связанные переменные через свободные, принимают вид
Иногда последние формулы называют общим решением исходной СЛАУ. Однако, строго говоря, общим решением исходной СЛАУ является вектор
где — произвольные действительные числа. Для получения частного решения параметрам в формуле (8) следует придать конкретные числовые значения. В случае отсутствия свободных переменных все переменных являются связанными, матрица (4) приведенной СЛАУ имеет вид:
а сама система (6) имеет вид:
Поэтому СЛАУ является определенной, и ее единственное решение имеет вид . В приводимых ниже примерах необходимо выяснить, совместна ли система, а если да, то найти ее общее решение и несколько частных решений. Теорема (о структуре общего решения). · если , где — число переменных системы, то существует только тривиальное решение; · если , то существует линейно независимых решений рассматриваемой системы: , причём её общее решение имеет вид: , где — некоторые константы. Теорема (об общем решении неоднородных систем).
ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ дифференциального уравнения - решение, получающееся из общего решения при некотором конкретном выборе произвольных постоянных
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.) |