Общее решение сис-мы уравнений в векторной форме

Система уравнений вида

,

называется неоднородной системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Будем считать, что являются непрерывными функциями на (a,b).

Система дифференциальных уравнений

,

называется однородной. Вводя в рассмотрение векторы и матрицу , уравнения можно представить в векторной форме

, (1')

. (2')

Матрица

, (3)

где - координаты линейно независимых решений (векторов)

...........................

векторного уравнения (2'), называется фундаментальной матрицей этого уравнения. Иногда ее называют матрицей Вронского.

Определитель

,

составленный из частных решений системы (2), называется определителем Вронского. Для того, чтобы матрица (3), где - частные решения системы уравнений (2), была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы при . При этом общее решение векторного уравнения (2') представляется в виде

,

где C - произвольный постоянный вектор. Общее же решение уравнения (1') будет

,

где - какой-нибудь вектор, являющийся частным решением уравнения (1').

Путем исключения неизвестных систему всегда можно свести к уравнению более высокого порядка с одной неизвестной функцией. Этот метод удобен для решений несложных систем.

Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение.

Разрешив первое уравнение относительно y и подставив во второе уравнение системы, получаем

.

Корни характеристического уравнения есть . Следовательно, общее решение последнего уравнения будет

.

Подставив значение x в первое уравнение системы, найдем

.

Для решения системы , где x - вектор, A - матрица:

,

надо найти корни характеристического уравнения

.

Если для кратного корня l имеется столько линейно независимых собственных векторов , какова его кратность, то ему соответствует решение .

Если для корня кратности k имеется только m линейно независимых собственных векторов, и , то решение, соответствующее этому , можно искать в виде произведений многочлена степени k-m на , т.е. в виде

(4)

Чтобы найти коэффициенты a,b,...,s, надо подставить решение (4) в исходную систему. Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой части уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно a,b,...,s. Надо найти общее решение этой системы, коэффициенты a,b,...,s должны зависеть от kпроизвольных постоянных, где k - кратность корня l.

Найдя для каждого l решения указанного вида и сложив их, получим общее решение исходной системы.

Поиск по сайту: