Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой итерационной формуле Ньютона

Пусть имеем функцию y(x), заданную в равноотстоящих точках отрезка [a,b] с помощью значений , и т.д. Функцию y приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенным для системы узлов x₀, x₁,…, .

Имеем:

(1)

Где:

и (i=0,1,…)

Производя перемножение биномов, получим:

()

Так как

То

(2)

Аналогично, так как:

То

(3)

Таким же способом в случае надобности можно вычислить и производ­ные функции y(x) любого порядка.

Заметим, что при нахождении производных в фиксированной точке x в качестве x₀ следует выбирать ближай­шее табличное значение аргумента.

Иногда требуется находить производные функции у в основных табличных точках x_i. В этом случае формулы численного дифферен­цирования упрощаются. Так как каждое табличное значение можно считать за начальное, то положим x=x₀, q=0; тогда будем иметь:

(4)

И (5)

Если - интерполяционный полином Ньютона, содержащий разности и - соответствующая погрешность, то погрешность в определении производной есть:

Как известно,

Где - некоторое промежуточное число между значениями x₀, x₁,…, x_k, x. Поэтому, предполагая, что , получим:

Отсюда при x=x₀ и, следовательно, при q=0 и учитывая, что , будем иметь:

(6)

Так как во многих случаях трудно оценить, то при h малом приближенно полагают:

и, следовательно:

(7)

Аналогично может быть найдена погрешность для второй производной .

Пример 1. Найти

Значения функции

Решение: Здесь h=5. Дополним таблицу 60 столбцами конечных разностей (десятичные разряды, как обычно, не указы­ваются; они определяются десятичными разрядами значений функции).

Используя первую строчку таблицы, на основании формулы (4), с точностью до разностей третьего порядка, будем иметь:

Для оценки точности найденного значения заметим, что, так как табулирования выше функция есть , то

Следовательно:

Таким образом, результаты совпадают с точностью до четвертого десятичного знака.

Запишем в явном виде формулы для первой производной в угловых точках по формуле (4) выражая все конечные разности через значения функции в углах; учтем значение погрешности (6).

1. Для двух точек (n=2) – линейный полином

Говорят, что эта формула имеет первый порядок точности относительно шага h, где h=x₁-x₀ – расстояние между точками.

По формуле (12) в точках x₀, x₁, x₂

(2.44а)

Второго порядка точности

(2.44б)

(2.44в)

2. n=3 (четыре точки)

3. n=4 (пять точек)

Рассмотрение формул 1-3 показывает, что если число точек нечетно и производная берется в средней точке, то соответствующая формула численного дифференцирования выражается более просто и обладает повышенной точностью.

Для повышения точности аппроксимации производных теорети­чески следует увеличивать степень интерполяционного много­члена – число точек.

Аналогично можно вывести формулы для производной второго порядка:

(2.45а)

(2.45б)

(2.45в)

Вторая производная по формулам (2.45а)—(2.45в) в крайних точках x₀ и х₂ аппроксимируется с первым порядком точности, а в центральной х₁ — со вторым. В центральных точках производ­ные аппроксимируются более точно, чем в крайних, что видно из рисунка 2.4 и следует также из приведенных формул. Аппроксима­ция производных в крайних точках используется при численном решении задачи Коши и краевых задач для обыкновенных диф­ференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Запишем полиномы для неравноотстоящих точек.

Линейным полином (две точки):

(9)

Квадратичный полином (три точки):

(10)

Из формул (9) и (10) с использованием выражения (8) получаем, дифференцируя x,

(11)

(12)

Формулы (11) и (12) дают значения первой производной в случае неравноотстоящих узлов, при этом формула (11) получена дифференцированием интерполяционного многочлена первой сте­пени, а (12) — многочлена второй степени с учетом формул для погрешностей интерполяции. Рассмотрим более подробно эти фор­мулы. Очевидно, что при таблично заданных функциях с исполь­зованием интерполяционных многочленов производные вычисляют­ся как производные от интерполяционных многочленов соответ­ствующих порошков. Приближенное значение первой производной по формуле (11), полученное дифференцированием равно:

Для вычисления второй производной, очевидно, нужно использовать интерполяционный многочлен Ньютона второй степени. Имеем

(13)

Таким образом, приближенное значение второй производной на отрезке [x₀, x₂] является постоянной, равной

(14)

Поиск по сайту: