Формулы численного интегрирования

Заменим подынтегральную функцию, входящую в (2.50), интер­поляционным многочленом Лагранжа нулевой степени, проходя­щим через середину отрезка — точку (рис. 2.5). Пло­щадь криволинейной трапеции можно заменить площадью пря­моугольника, т. е.

(2.52)

Формула (2.52) носит название формулы прямоугольников или формулы средних. Ее погрешность составляет:

(2.53)

Разложение функции f(x) в ряд относительно середины отрезка имеет вид:

(2.54)

Подставим выражение (2.54) в (2.53), получим:

(2.55)

При вычислении ошибки интегрирования уничтожился не только первый, но и второй член разложения, что связано с сим­метричным выбором узла интегрирования. И хотя по построению формула точна для многочленов нулевого порядка, выбор сим­метричного узла интерполяции привел к тому, что формула точна для любой линейной функции.

Значение остаточного члена в формуле прямоугольников (2.53) может быть велико, так как разность (b-a) может быть до­статочно большой. Для повышения точности введем сетку.

С достаточно мелким шагом и применим форму прямоугольников на каждом шаге сетки. Тогда получим обоб­щенную формулу прямоугольников:

(2.57)

Величина остаточного члена составляет:

(2.58)

Заменяя в (2.58) сумму интегралом, получим:

(2.59)

Тогда, если обозначить , остаточный член

(2.60)

В том случае, когда функция f(x) задана в виде таблицы, ее значение в середине интервала неизвестно. Это значение нахо­дится, как правило, интерполированием, что приводит к ухудше­нию точности формулы.

В случае таблично заданных функций удобно в качестве узлов интерполяции выбрать начало и конец отрезка интегрирова­ния, т. е. заменить функцию f(x) многочленом Лагранжа первой степени. Имеем:

В этом случае величина интеграла, равная площади криволинейной трапе­ции, приближенно заменяется величи­ной площади трапеции (рис. 2.6). Поэтому получаем:

(2.61)

Имея в виду, что x₀=a, x₁=b. Эта формула носит название формулы трапеций. При использовании формулы трапеций для оценки погрешности интегрирования вычислением по формулам (2.18). Имеем:

(2.62)

Погрешность формулы трапеций вдвое больше погрешности фор­мулы прямоугольников. Это объясняется тем, что выбор в форму­ле прямоугольников в качестве узла интерполяции симметрично­го узла приводит к повышению ее точности.

Для повышения точности формулы (2.61) введем на отрезке [a,b] сетку:

Подсчитывая значение интеграла для каждого интервала и сум­мируя эти значения, получаем обобщенную формулу трапеций:

(2.63)

Со значение остаточного члена:

Эти формулы упрощаются на сетке с постоянным шагом (i=0,1,…,N-1):

(2.64)

(2.65)

Введем обозначение . На практике пользуются мажорантной оценкой величины остаточного члена:

(2.66)

Таким образом, формула трапеций (как и формула прямоуголь­ников) имеет второй порядок точности относительно шага сетки, и погрешность асимптотически стремится к нулю приh→0 с точностью до членов более высокого порядка малости.

Геометрически формула (1) получается в результате замены графика подынтегральной функции y=f(x) ломаной линии (рисунок 71).

Для повышения порядка точности формулы численного интегрирования заменим подынтегральную кривую параболой — интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, вы­брав в качестве узлов интерполяции концы и середину отрезка интегрирования: x₀=a, , x₂=b (рисунок 2.7)

В этом случае, проинтегрировав интерполяционный много­член для равноотстоящих узлов, получим

(2.67)

При этом значение остаточного члена оценивая приближенным соотношением:

Формулу (2.67) называют формулой Симпсона.

Как и в предыдущих двух случаях, для повышения точности формулы (2.67) введем сетку с достаточно малым шагом. Сумми­руя значения интегралов, полученных по (2.67) для каждого ин­тервала, получаем обобщенную формулу Симпсона (парабол), ко­торая на равномерной сетке имеет вид:

(2.68)

Введя обозначения:

Формулу (1) можно записать в более простом виде:

А величина остаточного члена:

(2.69)

Таким образом, формула парабол имеет четвертый порядок точности относительно шага сетки. Введем обозначение . Как правило, для оценки величины погрешнос­ти применяют мажорантную оценку:

(2.70)

Пример: С помощью формулы Симпсона вычислить интеграл:

приняв n=10.

Решение:

Имеем 2m=10. Отсюда

Результаты вычислений приведены в таблице 67.

Вычисление интеграла по формуле Симпсона (таблица 67)

i	xi	y2j-1	y2j
			y0=1,00000
	0,1	0,90909
	0,2		0,83333
	0,3	0,76923
	0,4		0,71429
	0,5	0,66667
	0,6		0,62500
	0,7	0,58824
	0,8		0,55556
	0,9	0,52632
	1,0		0,50000=yn
		3,45955 ( 1)	2,72818 ( 2)

По формуле получаем:

(3)

Подсчитаем погрешность результата (3). Так как

,

То:

Отсюда:

при

И, следовательно:

Значит:

I=0,69315±0,000013

Поиск по сайту: