Из формулы (8.4) следует формула Байеса

P ( D _i / k _j) = P ( D _i) ∙ P ( k _j / D _i) / P ( k _j) (8.5)

В формуле (8.5 ) величины P ( D _i) и P ( k _j / D _i)должны быть извест­ны из статистических данных, полученных в процессе эксплуата­ции. Найдем величину P ( k _j).Событие k _j возникает вместе с одним из несовместных событий D ₁, D ₂,..., D _n. Поэтому

P ( k _j) = P ( D ₁ k _j) + P ( D ₂ k _j) + … + P ( D _n k _j) = . (8.7)

Формула (8.7) является формулой полной вероятности события k _j, происходящего вместе с полной группой независимых событий. С учетом (8.7) формула Байеса принимает вид (8.8):

Из (8.8) следует, что (8.9):

т. е. сумма апостериорных вероятностей диагноза для данного при­знака k _jравна 1.

Обобщенная формула Байеса применяется, если диагностируе­мая система характеризуется множеством параметров { y ₁, y ₂,… y _j…, y _n} и в результате измерений становится известен вектор признаков К* = ( k ₁*, k ₂*,… k _j*…, k _n*). Здесь знак «*» оз­начает конкретную реализацию признака k _j. Тогда формула (8.8) принимает вид (обобщенная формула Байеса) (8.11):

где P ( D _i /К*) – апостериорная вероятность диагноза после того, как стали известны результаты измерений по вектору признаков K. При условии независимости диагностических признаков вели­чина P(K*/Dj) рассчитывается по формуле: P ( K* / D _i) = P ( K ₁ * / D _i)∙ P ( K ₂ * / D _i)… P ( K _n * / D _i)(8.12)

При использовании метода Байеса составляется диагностичес­кая таблица на основе статистического материала. В ней для каждого диагноза D _iуказывается значение априорной вероят­ности этого диагноза [в столбце P ( D _i)]и вероятностей появления разрядов признаков [в столбцах P ( k _js / D _i)].

Если обследуется новая система и устанавливается ее диагноз D _t( t {1, 2,..., n }), то производится корректировка прежних апри­орных вероятностей диагнозов по формулам (8.13):

Таким образом, решающее правило, в соответствии с которым принимается решение о диагнозе в методе Байеса, состоит в следу­ющем: система с вектором признаков K* относится к диагнозу D _iс наибольшей (апостериорной) вероятностью P ( D _i /К*), т.е. для диагноза D _iвыполняется условие

P ( D _i /К*) = max. (8.15)

Условие (8.15) может быть дополнено пороговым значением для вероятности диагноза:

P ( D _i /К*) ≥ P _i, (8.16)

где P _i – установленный уровень распознавания для диагноза D _i.

47. Логическая модель непрерывной системы.

Применение логической модели для диагностирования непре­рывной системы относится к детерминированным методам. Система как объект диагностирования разбивается на некото­рое множество блоков. Эти блоки и связи между ними составля­ют структурную схему системы. На рис. 8.2 приведен пример структурной схемы, содержащей восемь блоков. Внешние вхо­ды системы обозначе­ны символами x _i. Вы­ходы блоков, которые являются и входами смежных блоков, а также внешние выхо­ды системы обозначе­ны символами z _j. Учитывая то, что обнаружение неисправностей в логических моде­лях происходит с точностью до блока структурной схемы, важ­ное значение имеет оптимальность разбиения системы на бло­ки. При этом следует учитывать удобство измерения выходных сигналов блоков (сигналов z _j), сменность блоков, конструктив­ные особенности и др.

Рисунок 8.2 – Структурная схема непрерывной системы

Входные и выходные сигналы блоков описываются одним или несколькими физическими параметрами (напряжение, ток, часто­та, фаза и др.). Каждый параметр может измеряться отдельно с це­лью контроля работы блока. Поэтому в структурной схеме произ­водится «расщепление» входов x _i и выходов z _j на несколько сигна­лов x_if и z_jk. В результате этого получают функциональную схему системы. В нашем примере (см. рис. 8.2) для простоты предполо­жим, что сигналы x ₁и z ₂, характеризуются двумя параметрами, а остальные сигналы — одним параметром. Функциональная схема приведена на рис. 8.3.

Рис. 8.3. Функциональная схема непрерывной системы

Для построения ло­гической модели каж­дый блок Q _rфункцио­нальной схемы, кото­рый имеет k _rвыходов, заменяется k _rблоками, каждый из которых имеет один выход и су­щественные для данно­го выхода входы. Блок Q ₁ на рис. 8.3 заменяется двумя блоками Q ₁₁ и Q ₁₂ (рис. 8.4). Если все блоки имеют по одно­му выходу, то в част­ном случае логическая модель будет совпа­дать с функциональной схемой.

Рис. 8.4. Логическая модель непрерывной системы

Логическая модель содержит всю необхо­димую информацию для диагностирования системы. Эта информация заключена в логических связях между бло­ками, отражающих влияние неисправностей одних блоков на работу других. Будем считать, что все входные и выходные параметры бло­ков доступны для измерений и известны области их допустимых зна­чений. Тогда переменные x_i и z_j являются двоичными переменными. Они равны 1, если значения соответствующих им параметров нахо­дятся в допустимых пределах, и равны 0 в противном случае.

В результате анализа логической модели строится таблица функций неисправностей. Стро­ки таблицы соответствуют элементарным тестовым проверкам π. При такой проверке на внешние входы системы подаются сигналы x_i, причем все они имеют допустимые значения, и производится измерение сигнала z_j на выходе одного из блоков. Таким образом, на логи­ческую модель подается единственное входное воздействие, у кото­рого все внешние сигналы равны 1. Число элементарных проверок не более числа блоков модели. В действительности, это число может быть меньше, если выходы не всех блоков доступны для измерения.

Графы табл. 8.5 соответствуют неисправностям системы. Рассмат­риваются только неисправности одного блока. Любые неисправнос­ти внутри одного блока Q _jпроявляются на его выходе одинаково (отклонением сигнала z_j за допустимые пределы). Поэтому все та­кие неисправности рассматриваются как одна одиночная неисправ­ность. Графа е соответствует исправно­му состоянию системы (все блоки исправны).

Таблица 8.5

При тестовой проверке вывод об исправности блока Q _jследует из результатов измерения сигнала z _j на его выходе. Выход z _j будет допустим только тогда, когда все входы блока Q _jдопустимы и сам блок исправен. Следовательно, блок Q _jисправен, если при про­верке выход Q _j, допустим.

После построения таблицы функций неисправности находится минимальное множество проверок (строк), достаточных для обна­ружения любой одиночной неисправности в системе. Другими сло­вами, находится минимальное множество контрольных точек (вы­ходов блоков), измерение сигналов которых гарантирует контроль исправности системы. Для этого выбирается минимальная совокуп­ность строк таблицы, содержащая хотя бы один 0 в каждом столбце е _j.

В рассматриваемом примере (см. табл. 8.5) существует три ми­нимальных множества контрольных точек {4, 6}, {6, 7} и {6, 8}. Конкретное множество выбирается исходя из удобства измерения соответствующих сигналов z _j.

Поиск по сайту: