|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Метод Рунге-Ромберга-Ричардсона повышения порядков точностиВ вычислениях с помощью формул численного интегрирования результат получается тем точнее, чем с большим числом узлов используется сетка. Однако при этом формулы оказываются достаточно громоздкими. Метод Рунге — Ромберга — Ричардсона позволяет получать более высокий порядок точности без значительного увеличения числа операций. Пусть для вычисления величины f(x) имеется некоторая функция , дающая возможность приближенного расчета величины f(x) на равномерной сетке с шагом h.Значение остаточного члена можно представить в виде: (2.71) Где p - порядок точности расчетной формулы, a — главный член погрешности. Например, для формулы прямоугольников и трапеций p=2, а для формулы парабол p=4. Если провести расчет на другой сетке с шагом rh, приближенное значение величины f(x) окажется другим. В этом случае остаточный член примет вид: (2.72) Значение главного члена погрешности определяется вычитанием выражения (2.72) из выражения (2.71): (2.73) Следовательно, пользуясь расчетом на сетке с шагом rh,удается оценить главный член погрешности расчета на равномерной сетке с шагом h.Если же подставить найденную погрешность (2.73) в (2.72), то получим результат с более высокой точностью: (2.74) Метод Рунге — Ромберга — Ричардсона может быть использован для оценки погрешности расчета и получения результата с более высокой степенью точности при решении различных задач, когда возможен расчет какой-либо величины на сетках с различным шагом, например, при численном интегрировании, дифференцировании, решении дифференциальных уравнений. В качестве примера рассмотрим полученные формулы численного интегрирования, имеющие более высокий порядок точности. Проведем расчет определенного интеграла по формуле трапеций с шагом 2h(точки x0,x2), а затем на сетке с шагом 2h(точки x0,x1,x2). Обозначим результаты этих расчетов через F2h и Fh соответственно. Порядок точности формулы трапеций равен двум, а сам остаточный член имеет такой же вид, как и в формуле (2.71). Обозначая более точное значение через F,проведем уточнение по формуле (2.74): Таким образом, уточнение расчета формулы трапеций с использованием выражения (2.74) привело к формуле парабол, имеющей более высокий — четвертый — порядок точности.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.) |