АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Метод Рунге-Ромберга-Ричардсона повышения порядков точности

Читайте также:
  1. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  2. I. Методические основы
  3. I. Предмет и метод теоретической экономики
  4. II. Метод упреждающего вписывания
  5. II. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
  6. II. Методы непрямого остеосинтеза.
  7. II. Проблема источника и метода познания.
  8. II. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ
  9. III. Методологические основы истории
  10. III. Предмет, метод и функции философии.
  11. III. Социологический метод
  12. III. УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО КУРСУ «ИСТОРИЯ ЗАРУБЕЖНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ К. XIX – НАЧ. XX В.»

В вычислениях с помощью формул численного интегрирования результат получается тем точнее, чем с большим числом узлов используется сетка. Однако при этом формулы оказываются до­статочно громоздкими. Метод Рунге — Ромберга — Ричардсона позволяет получать более высокий порядок точности без значи­тельного увеличения числа операций.

Пусть для вычисления величины f(x) имеется некоторая функция , дающая возможность приближенного расчета величины f(x) на равномерной сетке с шагом h.Значение остаточ­ного члена можно представить в виде:

(2.71)

Где p - порядок точности расчетной формулы, a — глав­ный член погрешности. Например, для формулы прямоугольни­ков и трапеций p=2, а для формулы парабол p=4.

Если провести расчет на другой сетке с шагом rh, прибли­женное значение величины f(x) окажется другим. В этом случае остаточный член примет вид:

(2.72)

Значение главного члена погрешности определяется вычитанием выражения (2.72) из выражения (2.71):

(2.73)

Следовательно, пользуясь расчетом на сетке с шагом rh,удается оценить главный член погрешности расчета на равномерной сетке с шагом h.Если же подставить найденную погрешность (2.73) в (2.72), то получим результат с более высокой точностью:

(2.74)

Метод Рунге — Ромберга — Ричардсона может быть использован для оценки погрешности расчета и получения результата с более высокой степенью точности при решении различных задач, когда возможен расчет какой-либо величины на сетках с различным шагом, например, при численном интегрировании, дифференци­ровании, решении дифференциальных уравнений.

В качестве примера рассмотрим полученные формулы чис­ленного интегрирования, имеющие более высокий порядок точ­ности. Проведем расчет определенного интеграла по формуле тра­пеций с шагом 2h(точки x0,x2), а затем на сетке с шагом 2h(точки x0,x1,x2). Обозначим результаты этих расчетов через F2h и Fh со­ответственно. Порядок точности формулы трапеций равен двум, а сам остаточный член имеет такой же вид, как и в формуле (2.71). Обозначая более точное значение через F,проведем уточ­нение по формуле (2.74):

Таким образом, уточнение расчета формулы трапеций с ис­пользованием выражения (2.74) привело к формуле парабол, имеющей более высокий — четвертый — порядок точности.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)