 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Метод Ньютона (касательных)
Пусть корень уравнения f(x) = 0 отделен на отрезке 
. Необходимым условием сходимости метода является то, что производные 
и 
непрерывны и сохраняют постоянные знаки.
Алгоритм приближенного вычисления корня методом касательных.
Исходные данные:
f(x) – функция;
f‘(x) – производная заданной функции f(x);
ε – требуемая точность;
x0 – начальное приближение.
Результат: xпр. – приближенный корень уравнения f(x) = 0.
Метод решения:
Рассмотрим случай, когда 
, т.е. и имеют одинаковые знаки. Тогда возможны два случая построения кривой на отрезке (рис 3).
Проведем касательную к кривой y =f(x) в точке В0(b; f(b)). В курсе алгебры выводится уравнение касательной.
Уравнение касательной в точке В0 имеет вид 
. В качестве очередного приближения к корню уравнения берем точку пересечения касательной с осью Оx. Полагая y = 0, найдем 
. Теперь 
. Применяя метод еще раз для отрезка 
, получим
.
Получаем рекуррентную формулу вычисления приближений к корню:
Рисунок 3. Геометрическая интерпретация метода касательных для случая .
Обратим внимание, что в этом случае в качестве начального приближения к корню выбираем точку x0 = b. Приближение к коню происходит с правой стороны, поэтому получаем приближенное значение корня с избытком.
Пусть теперь 
, т.е. и имеют разные знаки. Тогда также возможны два случая построения кривой на отрезке (рис 4).
| B0 |
| A0 |
Рисунок 4. Геометрическая интерпретация метода касательных для случая .
Если снова провести касательную к кривой в точке В0, то она пересечет ось Ох в точке не принадлежащей отрезку . Поэтому проведем касательную в точке 
. Ее уравнение 
. Находим x1, полагая y = 0: 
. Корень 
. Применяя метод еще раз для отрезка 
, получим .
Получаем рекуррентную формулу вычисления приближений к корню, аналогичную первому случаю:
В данном случае в качестве начального приближения к корню выбираем точку x0 = a. Приближение к коню происходит с левой стороны, поэтому находим приближенное значение корня с недостатком.
Заметим, что вычислительные формулы метода отличаются друг от друга только выбором начального приближения: в первом случае за x0 принимаем конец b отрезка, во втором – конец a.
Убедитесь сами, что при выборе начального приближения корня можно руководствоваться правилом: за исходную точку следует выбрать тот конец отрезка , в котором знак функции совпадает со знаком второй производной (см. рисунки 8,9).
Условие окончания вычислительного процесса: 
, где ε - заданная точность. Тогда xпр. = xn+1 с точностью ε.
Поиск по сайту: