Лекции по курсу «Математическое моделирование»

1. Методологические основы моделирования.

В научных исследованиях большую роль играет понятие гипотеза, т.е. определенные предсказания, основывающиеся на небольшом количестве опытных данных, наблюдениях, догадках. Быстрая и полная проверка выдвигаемых гипотез может быть проведена в ходе специально поставленного эксперимента. При формировании и проверке правильности гипотезы большое значение в качестве метода суждения имеет аналогия. Аналогией называется суждение о сходстве двух объектов.

связь через эксперимент

Гипотезы и аналогии должны сводиться к удобным для исследова-ния логическим схемам или моделям, позволяющим проводить эксперимен-ты, и изучать некоторые свойства оригинала. Замещение одного объекта другим с исследовательской целью называется моделированием.

3. Приближенное.

	оптимизация

Если говорить о области машиностроения то Базы данных - служат для хранения наименований объектов, условных обозначений, порядковых номеров, типов материалов из которых изготавливается деталь, площадь, стоимость, технические характеристики. Пользователь сам может задать необходимые сведения и включить их в БД.

Синтез структуры -заключается в выборе оптимальной структуры системы и ее внутренних параметров, при заданных характеристиках систем с учетом накладываемых ограничений.

Существует структурный и параметрический синтез.

Структурный синтез – заключается в формировании структуры объекта по логическому перебору элементов. Параметрический синтез заключается в расчете параметров элементов при заданной структуре объекта.

Моделирование имеет иерархические уровни, различающиеся степенью детализации рассмотрения процессов в объекте:

Первый предусматривает описание объекта дифференциальными уравнениями в частных производных, выражающих фундаментальные законы физики.

Второй уровень включает описание ММ технического объекта системой обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. В их основе лежат уравнения элементов и уравнения межэлементных связей. С формальной точки зрения они имеют одинаковый вид для систем с различной физической природой, что явилось основанием для создания ПМК.

Третий уровень - рассматривает модели большой сложности которые исследуются методами теории массового обслуживания и ТАУ.

2. Классификация видов моделирования.

Классификация видов моделирования зависит от характера изучаемых процессов в системе.

1. Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, в которых отсутствуют всякие случайные величины.

2. Стохастическое моделирование - отображает вероятностные процессы и события.

3. Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени.

4. Динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени.

5. Дискретное моделирование служит для отображения объекта в определенный момент времени.

6. Непрерывное моделирование позволяет отображать непрерывный процесс в системе.

7. Физическое моделирование (макетирование) осуществляется путем воспроизведения исследуемого процесса на модели, имеющей в общем случае отличную от оригинала природу, но одинаковое математическое описание процесса функционирования. Это метод экспериментального изучения различных физических явлений, основанный на их физическом подобии.
Физи́ческое модели́рование применяется при условии отсутствия точного математического описания процесса, или описание слишком громоздко и требует для расчётов большого объёма исходных данных, получение которых затруднительно.

Воспроизведение исследуемого физического явления в целях эксперимента в реальном масштабе времени слишком дорогостояще. Обычно осуществляется создание лабораторной физической модели в уменьшенных масштабах, и проведении на ней экспериментов. Выводы и данные, полученные в этих экспериментах, используются при проектировании реальных объектов или коррекции их параметров.
Метод может дать достоверные результаты при соблюдении физического подобия реального явления и модели. Подобие достигается за счёт равенства для модели и процесса значений критериев подобия безразмерных чисел, зависящих от физических и геометрических пара-метров, характеризующих процесс. Экспериментальные данные, получен-ные методом физического моделирования распространяются на реальное явление также с учётом критериев подобия. Недостаток физического моделирования заключается в том, что исключена возможность выполнения экспериментов в критических режимах (разрушение макета). Любой лаб. физический эксперимент является моделированием

Некоторые примеры применения метода физического моделирования:

1) Исследование обтекания самолетов и автомобилей в аэродинамических трубах.

2) Гидродинамические исследования на уменьшенных моделях кораблей, гидротехнических сооружений и т.п.

3) Исследование сейсмоустойчивости зданий и сооружений на этапе проектирования.

4) Изучение устойчивости сложных конструкций, под воздействием разносторонних силовых нагрузок.

5) Измерение тепловых потоков и рассеивания тепла в устройствах и системах, работающих в условиях больших тепловых нагрузок.

8. Математическое моделирование - это процесс замены техни-ческого объекта математическим объектом, называемого математической моделью. Исследование этой модели позволяет получить характеристики реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так от целей моделирования. Математическое модели-рование для исследования технических объектов использует совокупности формул, уравнений, неравенств определяющих структуру технической конструкции и описывающих ее поведение. Сложность и многообразие процессов функционирования реальных технических систем не позволяют строить для них абсолютно адекватные математические модели.

Математические модели технических систем функционируют посред-ством перехода из одного состояния в другое. Переход от состояния к состо-янию осуществляется по детерминированным или вероятностным законам.

9. Аналитическое моделирование это математический формализован-ный процесс изменения свойств объекта во времени. Для такого способа мо-делирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраические, интегро-дифференцированные, конечно разностные) и логических условий.Такая модель может быть исследована 3-мя способами:

1. Аналитическим способом – когда необходимо получить в общем виде зависимость от исходных характеристик;

2. Численным способом – когда нельзя решить задачу в общем виде а получаем только результаты для конкретных начальных данных;

3. Качественным способом– когда не имея решения уравнения в общем виде, мы можем найти некоторые свойства решения.

10. Имитационное моделирование при котором реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени. При этом имитируются элементарные явления, составляющие процесс с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Это позволяет по исходным данным получить сведения о состоянии процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы.

Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим, является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики системы и её элементов, многочисленные случайные воздействия.

11.При комбинированном моделировании проводится дробление процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы.

3. Формализация и алгоритмизация процесса функционирования сложных систем

Сущность компьютерного моделирования сложной системы состоит в проведении на компьютере эксперимента с моделью, которая представляет собой программный комплекс, описывающий формально или алгоритмически поведение элементов системы в процессе её функциониро-вания, во взаимодействии элементов друг с другом и внешней средой.

Основные требования, предъявляемые к модели.

1. Полнота модели – возможность получения необходимого набора характеристик, оценок системы, с требуемой точностью и достоверностью.

2. Гибкость модели – возможность воспроизведения различных ситуаций при варьировании структуры, алгоритмов и параметров системы. Причем структура должна быть блочной, т.е. допускать возможность замены, добавления, исключение некоторой части, без переделки всей модели.

3. Компьютерная реализация модели должна соответствовать имеющимся техническим ресурсам.

Процесс моделирования, включая разработку и компьютерную реализацию модели является итерационным.

Этот итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет получена модель, которую можно считать адекватной в рамках решения поставленной задачи при исследовании или проектировании системы.

4. Основные этапы моделирования технических систем

1. Построение описательной модели системы и её формализация;

2. Алгоритмизация модели и её К реализация;

3. Получение и интерпретация результатов моделирования;

На первом этапе формулируется модель и строится её формальная схема. Основным назначением данного этапа является переход от содержа-тельного описания объекта к его математической модели. Этот этап наиболее ответственный и наименее формализованный. Последовательность действий:

1. Исследование моделируемого объекта с точки зрения выделения основных составляющих функционирования системы

2. Переход от содержательного описания модели к формализованному описанию свойств функционирования модели, т.е. к её концептуальной модели. Это сводится к исключению из рассмотрения некоторых второстепенных элементов, которые не оказывают существенного влияния на ход процесса исследуемой модели.

3. Оставшиеся элементы модели группируются в блоки:

а) Блоки I-ой группы представляют собой имитатор событий внешних воздействий.

б) Блоки II-ой группы являются моделью процесса функционирования.

в) Блоки III-ой группы являются вспомогательными и служат для реализации блоков I и II группы. Так же эти блоки обеспечивают корректность ввода данных и приемлемость результатов.

4. Для построения модели, процесс функционирования системы разбивается на подпроцессы,

На втором этапе моделирования – этапе алгоритимизации и компьютерной реализации, математическая модель сформированная на первом этапе воплощается в конкретную программную модель.

Последовательность действий следующая:

1. Разработка схемы моделирующего алгоритма.

2. Разработка схемы программы.

3. Выбор технических средств для реализации программной модели.

4. Процесс программирования и отладки.

5. Проверка достоверности программы на тестовых примерах.

6. Составление технической документации.

На 3-м этапе компьютер используется для проведения рабочих расчетов по готовой программе. Результаты этих расчетов позволяют проанализировать и сделать выводы о характеристиках процессов функционирования исследуемого объекта. Последовательность действий:

1. Планирование К эксперимента с моделью.

2. Составление плана проведения эксперимента с указанием комбинаций, переменных и параметров для которых должен проводится эксперимент.

Различают стратегическое и практическое планирование:

При стратегическом планировании ставится задача построения оптимального плана эксперимента для достижения данной цели поставленной перед моделированием (оптимизация структуры алгоритмов и параметров системы).

Практическое планирование преследует частные цели оптимальной реализации каждого из множества экспериментов. При этом главной задачей является получение максимального объема информации об объекте моделирования при минимальных затратах компьютерного времени. Для этого необходимо:

1. Проведение собственных расчетов (контрольная калибровка модели).

Схема итерационной калибровки модели.

			Результат

На корректировку

2. Статистическая обработка результатов расчетов и представление результатов в наглядной форме.

3. Интерпретация результатов моделирования. Подведение итогов.

4. Составление технической документации.

В процессе моделирования возникают три основных класса ошибок:

1. Ошибки формализации. Они возникают, когда модель недостаточно подробно определена.

2. Ошибки решения в случае применения упрощенного метода построения модели.

3. Ошибки задания параметров системы.

Проверка адекватности модели заключается в выявлении степени отк-лонения полученных характеристик от идеальных. (). Если по результатам проверки получается недопустимое рассогласование модели и системы то возникает необходимость в её корректировке или изменении.

Завершается этот этап определением области реализации модели, под которойпонимается множество условий при соблюдении которых, точность результатов моделирования находится в допустимых пределах.

Поиск по сайту: