Начисление сложных процентов

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием сложных процентов.

Принципиальное отличие сложных процентов от простых в том, что база для исчисления процентного платежа (дисконта) меняется на протяжении всего срока финансовой операции за счет периодического присоедине­ния (снятия) начисленного ранее дохода (скидки), в то время как база при использовании простых процентов остается неизменной.

Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное ре­инвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления.

Процедуру присоединения начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления называют капитализацией процентов или реинвестированием.

Из-за постоянного роста базы вследствие реинвестирования процентов рост первона-чальной суммы денежных средств осуществляется с ускорением. График начисления простых и сложных процентов представлен на рис. 4.

Рис. 4. График начисления простых и сложных процентов

Как правило, сложные проценты применя­ются в средне- и долгосрочных финансовых операциях. Но в лю­бом случае, если начисленные проценты (например, по вкладу) капитализируются, расчеты итоговой наращенной суммы сле­дует вести по формулам сложных процентов, а также при:

ü исчислении возросшей на проценты суммы задолженности, если проценты начисляются и присоединяются к основной сумме долга;

ü неоднократном учете ценных бумаг (учете и переучете на одинаковых условиях);

ü определении арендой платы при лизинговом обслуживании;

ü оценке бескупонных облигаций;

ü определении изменения стоимости денег под влиянием инф­ляции;

ü дисконтировании денежных сумм за ряд периодов времени в простом проектном анализе.

Исчисление эффективности операций, по которым проценты выплачиваются(не капитализируются), следует вести также по формуле сложного процента исходя из возможности реинвести­рования дохода на прежних условиях.

В практике при инвестировании денежных средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, т.е. к реинвестированию полученных на каждом этапе наращения средств. Наращенная сумму для всего срока составит в этом случае

где i – ставки, по которым производится реинвестирование.

Если периоды начисления и ставки не изменяются во времени, то формула имеет вид:

,

где m – количество реинвестиций.

Пример 10. Смирнов Е.Н. положил 100000 рублей 1 марта на месячный депозит под 20% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется три раза?

Решение:

руб.

Если начисляются точные проценты с точным числом дней

руб.

Если обыкновенные проценты с приближенным числом дней.

Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (го­довые проценты), т.е. применяется сложная годовая ставка нараще­ния. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам:

Р_с – первоначальный сумма долга (ссуды, кредита и т.д.);

S_с –наращенная сумма;

п – интервал начисления (число лет наращения).

Ставку наращения по сложным процентам обозначим как i. В тех случаях, когда одновременно речь идет о простых и сложных процентах, для ставки простых процентов применим подписной индекс «с».

Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Pi, а наращенная сумма составит Р + Pi = Р*(1 + i).

К концу второго года она достигнет величины Р*(1 + i) + Р*(1 + i) = Р(1 + i)² и т.д.

В конце i-го года наращенная сумма будет равна

Выражение (1 + i_с)ⁿ называют коэффициентом (множителем) наращения по сложным процентам. Точность расчета множите­ля в практических расчетах определяется допустимой степенью ок­ругления наращенной суммы (до последней копейки, рубля, тыся­чи и т.д.).

Пример 11. Какой величины достигнет долг, равный 100000 рублей, через пять лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?

Решение:

руб.

Как видим, величина множителя наращения зависит от двух па­раметров – i и n.Следует отметить, что при большом сроке нара­щения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на вели­чину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке.

Данная формула получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других пе­риодах начисления. В этих случаях i – ставка за период начисле­ния, n–число таких периодов. Например, если i – ставка за по­лугодие, то n – число полугодий и т.д.

Переменные ставки. Формула сложного процента предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать «классиче­скую» схему, например с помощью применения плавающих ставок. Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело расчет постфактум. В этом слу­чае, а также тогда, когда значения переменных ставок фиксируют­ся в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных множителей

,

где i₁, i₂, i_k –последовательные во времени значения ставок;

n₁, n₂, n_k–периоды, в течение которых применяются соответ­ствующие ставки.

Пример 12. Срок ссуды – 5 лет, договорная процентная ставка – 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% – в оставшиеся. Множитель наращения в этом случае составит:

Решение:

Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок для начис­ления процентов не является целым числом. В правилах ряда ком­мерческих банков для некоторых операций в этих случаях процен­ты начисляются только за целое число лет (или других периодов на­числения). В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяются два метода. Согласно первому, назовем его общим,расчет ведется непосредственно по формуле . Второй, смешанный,метод предполагает начисление процентов за целое чис­ло лет по формуле сложных процентов и по формуле простых про­центов за дробную часть периода:

,

где а + b = n

а – целое число периодов;

b – дробная часть периода.

При выборе метода следует иметь в виду, что множитель нара­щения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему методу, так как для n < 1 справедливо соотношение 1 + n*i > (1 + i)ⁿ. Наибольшая разница наблюдается при b=1/2.

Пример 13. Кредит в размере 3 млн. рублей выдан на три года и 160 дней (n = 3, 160/365 = 3,4384 года) под 16,5% сложных го­довых. Найти сумму долга:

Решение:

Общий метод:

руб.

Смешанный метод:

руб.

Поиск по сайту: