Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл. Мощность

Энергия - универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Различные формы энергии связывают с различными формами движения материи: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и пр. В одних случаях форма движения материи не изменяется (например, холодное тело нагревает горячее), в других - переходит в другую форму (например, механическое движение превращается в тепловое в результате трения). Однако существенно, что во всех перечисленных случаях энергия, отданная (в той или иной форме) от одного тела другому телу, равна энергии, которую получило последнее тело.

Изменение механического движения тела вызывается силами, которые действуют на него со стороны других тел. С целью количественно описать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, составляющая некоторый угол α с направлением перемещения, то работа этой силы равна проекции силы F_s на направление перемещения (F_s= Fcosα), умноженной на соответствующее перемещение точки приложения силы:

(1)

Но на практике сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формула (1) непригодна. Однако, если рассмотреть данную ситуацию для элементарного перемещения dr, то силу F мы считаем постоянной, а движение точки ее приложения - прямолинейным. Элементарной работой силы F на перемещении d r называется скалярная величина

где α - угол между векторами F и d r; ds = |d r | - элементарный путь; F_s - проекция вектора F на вектор d r (рис. 1).

Рис.1

Если взять участок траектории от точки 1 до точки 2, то работа на нем равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Поэтому эту сумму можно привести к интегралу

(2)

Чтобы вычислить интеграл (2) надо знать зависимость силы F_s, от пути s вдоль траектории 1-2. Пусть эта зависимость представлена графически (рис. 2), тогда искомая работа А равна на графике площадью заштрихованной фигуры. Если точка движется прямолинейно, сила F =const и α=const, то получим

где s - пройденный телом путь (см. также формулу (1)).

Рис.2

Из формулы (1) следует, что при α<π/2 работа силы положительна, в этом случае составляющая F_s совпадает по направлению с вектором скорости точки v (см. рис. 1). Если α>π/2, то работа силы отрицательна. При α= π/2 (сила и перемещение перпендикулярны) работа силы равна нулю.

Единица работы - джоуль (Дж): 1 Дж - работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м (1 Дж=1 Н•м).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:

(3)

За время dt сила F совершает работу F d r, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени

т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N - величина скалярная.

Единица мощности - ватт (Вт): 1 Вт - мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

Поиск по сайту: