Смешанное произведение и его свойства

Пусть даны три вектора , и . Представим себе, что вектор умножается векторно на и полученный вектор умножается скалярно на вектор , тем самым определяется число . Оно называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех , и . Для краткости смешанное произведение будем обозначать или ().

Выясним геометрический смысл смешанного произведения . Пусть рассматриваемые векторы , и некомпланарны. Построим параллелепипед на векторах , и как на ребрах. Векторное произведение есть вектор , численно равный площади параллелограмма OADB (основание построенного параллелепипеда), построенного на векторах и , и направленный перпендикулярно к плоскости параллелограмма (см. рис.).

E

C₁

C

O B

A D

Скалярное произведение есть произведение модуля вектора и проекции вектора на .

Высота построенного параллелепипеда есть абсолютная величина этой проекции.

Следовательно, произведение по абсолютной величине равно произведению площади основания параллелепипеда на его высоту, т.е. объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

При этом важно отметить, что скалярное произведение дает объем параллелепипеда иногда с положительным, а иногда с отрицательным знаком. Положительный знак получается, если угол между векторами и острый; отрицательный – если тупой.

Таким образом, смешанное произведение есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного на векторах , , как на ребрах

Знак произведения положителен, если векторы , , образуют систему, одноименную с основной, и отрицателен в противном случае.

Абсолютная величина смешанного произведения остается той же, в каком бы порядке мы ни брали сомножители. Что касается знака, то он будет в одних случаях положительным, в других – отрицательным; это зависит от того, образуют ли наши три вектора, взятые в определенном порядке, систему одноименную с основной, или нет. Заметим, что у нас оси расположены так, что они следуют одна за другой против часовой стрелки, если смотреть во внутреннюю часть трехгранного угла. Порядок следования не нарушается, если мы начнем обход со второй оси или с третьей, лишь бы он совершался в том же направлении, т.е. против часовой стрелки. При этом множители переставляются в круговом порядке (циклически). Таким образом, получается следующее свойство:

Смешанное произведение не меняется при круговой (циклической) перестановке его сомножителей. Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения:

.

Наконец, из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует следующее утверждение.

Необходимым и достаточным условием компланарности векторов , , является равенство нулю их смешанного произведения:

.

Матрицы. Основные понятия. Сложение и разность матриц.

Таблица чисел вида

,

обозначаемая кратко (i = 1, 2, 3, …, m; j = 1, 2, 3, …, n), состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера . Числа называются ее элементами. Это прямоугольная матрица. В частности, когда m = 1, n > 1, мы имеем однострочечную матрицу , которую называют матрицей-строкой. Если же m > 1, n = 1, мы имеем одностолбовую матрицу, которую называют матрицей-столбцом. Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом.

Матрица, в которой все элементы кроме главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, в которой все элементы на диагонали равны 1, называется единичной.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (m = n), то такую матрицу называют квадратной, причем число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. Например, матрица

есть квадратная матрица второго порядка, а матрица

есть квадратная матрица третьего порядка.

Матрицу для краткости будем обозначать одной буквой. Например, буквой A.

Две матрицы A и B называются равными (A = B), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов) и их соответствующие элементы равны. Так, если

и ,

то A = B, если , , , .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну строну от главной диагонали, равны нулю.

Сложение матриц. Матрицы одинакового размера можно складывать.

Суммой двух таких матриц A и B называется матрица C, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц A и B. Символически будем записывать так: A + B = C.

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

Матрицы. Основные понятия. Умножение на число и произведение. Элементарные преобразования матриц.

Основные понятия в 6 главе.

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A на число называется матрица, элементы которой равны произведению числа на соответствующие элементы матрицы A.

Отсюда следует, что при умножении матрицы на нуль получается нуль-матрица.

Умножение матриц. Рассмотрим правило умножения двух квадратных матриц второго и третьего порядков. Пусть даны две матрицы

, .

Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C = AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

Это правило сохраняется для умножения квадратных матриц третьего и более высокого порядка, а также для умножения прямоугольных матриц, в которых число столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.

В результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица-множимое, и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.

При умножении матриц второго порядка особое значение имеет квадратная матрица

.

Матрица E называется единичной матрицей.

При умножении любой квадратной матрицы A второго порядка на матрицу E снова получится матрица A.

Если в матрице A сделать все строчки столбцами с тем же номером, то получим матрицу , называемую транспонированной к матрице A.

Транспонированная матрица обладает свойствами:

1.

2.

3.

Свойства:

1. AB BA. Произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону. Если все же AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными.

2. A(BC) =(AB)C Умножение матриц подчиняется сочетательному закону.

3. Произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.

4. A(B + C) =AB + AC