Идея практического метода вычисления ранга матрицы

заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данную матрицу приводят к виду

, (5)

в котором «диагональные» элементы отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже «диагональных», равны нулю. Условимся называть матрицу такого вида треугольной (иначе, ее называют диагональной, трапециевидной или лестничной). После приведения матрицы к треугольному виду можно сразу записать, что .

В самом деле, (т.к. элементарные преобразования не меняют ранга). Но у матрицы существует отличный от нуля минор порядка :

,

а любой минор порядка содержит нулевую строку и поэтому равен нулю.

Сформулируем теперь практическое правило вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований: для нахождения ранга матрицы следует с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду . Тогда ранг матрицы будет равен числу ненулевых строк в полученной матрице .

Пример 10. Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований

Решение.

Поменяем местами первую и вторую строку (т.к. первый элемент второй строки −1 и с ней будет удобно выполнять преобразования). В результате получим матрицу, эквивалентную данной.

Обозначим -тую строку матрицы – . Нам необходимо привести исходную матрицу к треугольному виду. Первую строку будем считать ведущей, она будет участвовать во всех преобразованиях, но сама остается без изменений.

На первом этапе выполним преобразования, позволяющие получить в первом столбце нули, кроме первого элемента. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на 2 , к третьей строке прибавим первую , а из третьей вычтем первую, умноженную на 3 Получаем матрицу, ранг которой совпадает с рангом данной матрицы. Обозначим ее той же буквой :

.

Так как нам необходимо привести матрицу к виду (5), вычтем из четвертой строки вторую. При этом имеем:

.

Получена матрица треугольного вида, и можно сделать вывод, что , т. е. числу ненулевых строк. Коротко решение задачи можно записать следующим образом:

Поиск по сайту: