МАТРИЦЫ

Прямоугольная таблица чисел

,

содержащая строк и столбцов, называется матрицей размеров . Числа называются элементами матрицы. Каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в которых расположен этот элемент. Часто вместо подробной записи употребляют сокращенную: или даже . Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной порядка . Диагональ квадратной матрицы называется главной диагональю, а диагональ – побочной диагональю.

Среди квадратных матриц одного и того же порядка (например, порядка , т.е. размеров ) важную роль играет матрица вида

,

которую называют единичной матрицей.

Пример 1. Матрица

имеет размеры 3×4, например, элементы , .

Матрица

является квадратной порядка 3. Элементы 5, 4, –3 образуют главную диагональ, а элементы 0, 4, –2 матрицы – побочную диагональ.

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число , нужно каждый элемент матрицы умножить на это число: .

Сложение матриц. Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов, т.е. матрицы одинаковых размеров. Суммой матриц и называется матрица , элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц и , т.е. для любых индексов , .

Умножение матриц. Произведение матрицы на матрицу (обозначается ) определено только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В результате умножения получим матрицу , у которой столько же строк, сколько их в матрице , и столько же столбцов, сколько их в матрице . Для удобства запоминания запишем это кратко:

Если , и , то элементы определяются следующим образом:

,

где .

Это правило можно сформулировать и словесно: элемент , стоящий на пересечении -й строки и -го столбца матрицы , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов -й строки матрицы и -го столбца матрицы . Другими словами, элемент является результатом скалярного произведения -й вектор-строки и -го вектор-столбца.

Пример 2. Выполнить действия:

.

Пример 3. Перемножить матрицы:

и .

Матрица имеет размерность 2×3, матрица имеет размерность 3×4, значит, матрицы можно перемножить. Размерность матрицы произведения С – 2×4. Чтобы получить первый элемент матрицы С перемножим элементы первой строки матрицы А на соответствующие элементы первого столбца матрицы В. Элементы , , получим умножением элементов первой строки матрицы А на соответствующие элементы второго, третьего, четвертого столбцов матрицы В.

2 3 –1 2 3 –1 2 3 –1 2 3 –1

–5 0 3 3 –2 21 –1 20 3 –4

–10+0– 3= –13 6 – 6 – 2 =–2 2 – 3 – 2= –3 0 + 9 + 4=13.

Элементы получим умножением элементов второй строки матрицы А на соответствующие элементы первого, второго, третьего, четвертого столбцов матрицы В.

0 –4 1 0 –4 1 0 –4 1 0 –4 1

–5 0 33 –2 21 –1 20 3 –4

0 – 0 + 3=3 0 + 8 + 2=10 0 + 4 + 2 =6 0 – 12 – 4= –16

Итак, матрица произведения С имеет вид:

.

Поиск по сайту: