РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид

В матричной форме: , где

– матрица коэффициентов системы.

матрица-столбец неизвестных, – матрица-столбец свободных членов.

Если , то система называется однородной.

Напомним, что решением системы линейных уравнений с неизвестными является упорядоченный набор чисел , удовлетворяющий всем уравнениям системы одновременно.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Система называется неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Критерий совместности системы уравнений выражается следующей теоремой:

Теорема Кронекера–Капелли. Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен рангу расширенной матрицы .

Теорема о числе решений. Если ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных, т.е. , то система уравнений имеет единственное решение. Если rang A = rang < n, то система имеет бесконечно много решений.

Замечание 1. Если rang A rang , то система несовместна.

Замечание 2. Матрица получается из матрицы добавлением справа

столбца из свободных членов.

Замечание 3. Если система однородная, то к матрице добавляется столбец из нулей, который не влияет на ранг матрицы.

Замечание 4. Если в однородной системе Крамера определитель матрицы не равен нулю, т.е. , то система имеет единственное решение .

Если , то система имеет бесконечно много решений.

Поиск по сайту: