Метод Гаусса (метод последовательного исключения)

Суть метода состоит в том, что матрицу с помощью элементарных преобразований над строками приводят к треугольному или трапецевидному виду (прямой ход метода Гаусса). Для этого выбирают направляющий элемент (удобнее ), стоящий на первом месте в какой-либо строке. Эту строку называют направляющей. С помощью умножения этой строки на число и сложения строк добиваются, чтобы в первом столбце все элементы, кроме направляющего, обратились в 0. При этом направляющую строку не меняют. На втором этапе выбирают направляющий элемент в другой строке. Добиваются, чтобы во втором столбце появились нули и т.д. Затем решают систему снизу вверх (обратный ход метода Гаусса).

Задача 1. Рассмотрим систему

.

, т.к. ранги не совпадают, система несовместна.

Задача 2. Решить систему

.

Из третьей строки: ,..

Из второй строки: .

Из первой строки:

.

. Проверка показывает, что данный набор чисел является решением системы.

Задача 3. Решить систему

Первое и второе уравнения поменяем местами и составим расширенную матрицу, которую приведем к ступенчатому виду:

= ~ ~

. rang A = rang = 2, система совместна.

Т.к. 2 < n = 5 – система имеет бесконечно много решений. ≠ 0, его можно принять за базисный. Следовательно, неизвестные , входящие в этот минор, являются базисными, – свободными. Решая систему снизу

вверх, из второй строки получим

.

Из первой строки получим уравнение: . Решим его относительно . Подставим в это уравнение значение и получим

Решение системы запишем в виде

Положим где Общее решение системы

примет вид

Задача 4. Решить линейную однородную систему уравнений

Составим матрицу A, меняя уравнения местами

A = ~ · ~

~ .

Минор поэтому n–rang A = 5 – 3 = 2. , входящие в минор – базисные, – свободные. Решая систему, снизу вверх получим:

,

Если принять, например, затем , то найденная пара решений образует фундаментальную систему решений. Общее решение системы выглядит следующим образом: = ∙ + · или

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ

Поиск по сайту: