АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
|
Практические задания. Задача 1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение для однородной системы уравнений
Задача 1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение для однородной системы уравнений.
№ вар.
| Система уравнений
| 1, 20
|
|
3, 22
|
|
5, 24
|
|
7, 26
|
|
9, 28
|
|
11, 30
|
|
13, 17
|
|
15, 19
|
| 2, 21
|
|
4, 23
|
|
6, 25
|
|
8, 27
|
|
10, 29
|
|
12, 16
|
|
14, 18
|
|
Задача 2*. Найти общее решение в зависимости от значения параметра l. При каких значениях l система допускает решение с помощью обратной матрицы?
Задача 3. Линейный оператор определяется действием отображения a на концы радиус-векторов точек трехмерного пространства.
а) Найти матрицу оператора в подходящем базисе пространства , а затем в каноническом базисе . б) В какую точку трехмерного пространства переходит точка с координатами (1, 0, 0) под действием отображения a?
№ вар.
| Отображение a
| 1,21
| отражение относительно плоскости
x + y + z = 0
| 2,22
| поворот на 180° вокруг оси x = y = z
| 3,23
| проектирование на ось x = y/2 = z
| 4,24
| проектирование на плоскость x + y + z =0
| 5,25
| отражение относительно плоскости
x + y - z = 0
| 6,26
| поворот на 180° вокруг оси x = y = - z
| 7,27
| проектирование на ось 2 x = 2 y = - z
| 8,28
| проектирование на плоскость x - y + z = 0
| 9,29
| отражение относительно плоскости
x - y + z = 0
| 10,30
| поворот на 180° вокруг оси - x = y = z
| 11,16
| проектирование на ось x = 2 y = 2 z
| 12,17
| проектирование на плоскость - x + y + z = 0
| 13,18
| отражение относительно плоскости
- x + y + z = 0
| 14,19
| поворот на 180° вокруг оси x = - y = z
| 15,20
| проектирование на плоскость x + y - z = 0
|
Задача 4. а) Доказать, что оператор является линейным оператором в пространстве многочленов степени не выше n.
б) Найти его матрицу в каноническом базисе.
в) Существует ли обратный оператор? Если да, найдите его матрицу.
г) Опишите ядро оператора , т. е. множество:
.
№ вар.
| n
|
| 1, 22
|
|
| 2, 23
|
|
| 3, 24
|
|
| 4, 25
|
|
| 5, 26
|
|
| 6, 27
|
|
| 7, 28
|
|
| 8, 29
|
|
| 9, 30
|
|
| 10, 16
|
|
| 11, 17
|
|
| 12, 18
|
|
| 13, 19
|
|
| 14, 20
|
|
| 15, 21
|
|
|
Задача 5. Пусть - матрица оператора из задачи 3 в каноническом базисе . Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы . Объясните, как полученный результат связан с геометрическим действием оператора .
Задача 6. Оператор действует на матрицы, образующие линейное подпространство М в пространстве матриц второго порядка.
а) Доказать, что - линейный оператор в М.
б) Найти матрицу оператора в каком-нибудь базисе пространства М.
в) Найти собственные значения и собственные векторы оператора (напомним, что в этой задаче векторами являются матрицы).
г) Доказать, что - оператор простого типа, описать его действие в собственном базисе.
№ вар.
|
|
| B
| 1, 16
| y = u
|
|
| 2, 17
| y = u
|
|
| 3, 18
| x + v = 0
|
|
| 4, 19
| x + v = 0
|
|
| 5, 20
| x + y + u + v = 0
|
|
| 6, 21
| x - y + u + v = 0
|
|
| 7, 22
| x + y - u - v = 0
|
|
| 8, 23
| x - 2 y - u - v = 0
|
|
| 9, 24
| y = u
|
|
| 10, 25
| y = u
|
|
| 11, 26
| x + v = 0
|
|
| 12, 27
| x + y + u + v = 0
|
|
| 13, 28
| x + y + 2 u + v = 0
|
|
| 14, 29
| x + y + 2 u - v = 0
|
|
| 15, 30
| x + y - v = 0
|
|
|
Задача 7. В пространстве геометрических векторов с обычным скалярным произведением векторы базиса заданы координатами в базисе .
а) Найдите матрицу Грама скалярного произведения в этом базисе. Выпишите формулу для длины вектора через его координаты в базисе S.
б) Ортогонализуйте базис S. Сделайте проверку ортонормированности построенного базиса P двумя способами:
1) выписав координаты векторов из P в каноническом
базисе ;
2) убедившись, что преобразование матрицы Грамма
при переходе от базиса S к базису P (по формуле ) приводит к единичной матрице.
№ вар.
| 1, 23
| 2, 24
| 3, 25
|
| 1 -1 1
2 1 0
0 1 1
| 1 0 1
1 1 -1
2 -1 0
| 1 -1 0
1 1 1
1 0 2
| № вар.
| 4, 26
| 5, 27
| 6, 28
|
| 1 0 2
2 1 1
1 1 0
| 0 -1 2
1 1 -1
2 0 1
| 1 1 -1
2 0 1
1 1 2
| № вар.
| 7, 29
| 8, 30
| 9, 16
|
| 2 0 1
1 1 -1
1 2 1
| -1 1 1
1 1 -1
2 0 1
| 2 0 1
1 1 1
-2 0 1
| № вар.
| 10, 17
| 11, 18
| 12, 19
|
| 1 1 0
2 0 1
1 1 1
| 1 0 -1
2 1 1
1 1 0
| 2 -1 0
1 1 1
-1 0 1
| № вар.
| 13, 20
| 14, 21
| 15, 22
|
| 1 0 2
1 1 1
-1 2 0
| -1 1 0
-2 1 1
1 0 1
| 1 1 -1
1 1 1
2 1 0
|
Задача 8. Задана квадратичная форма.
а) Привести ее к каноническому виду методом Лагранжа, записав соответствующее преобразование переменных.
б) Привести ее к каноническому виду ортогональным преобразованием.
в) Проверить закон инерции квадратичной формы на примерах преобразований, полученных в пунктах а), б).
Контрольные вопросы
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | Поиск по сайту:
|