Типовой расчет №1 охватывает

А.В. Ряднов, Т.В. Меренкова, В.В. Трубаев

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Москва - 2014

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Кафедра «Высшая математика»

А.В. Ряднов, Т.В. Меренкова, В.В. Трубаев

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия для студентов всех технических специальностей

Москва - 2014

УДК 512 8

Р 98

А.В. Ряднов, Т.В. Меренкова, В.В. Трубаев Алгебра и геометрия. – М.: МИИТ, 2014. – 65 с.

Контрольные задания являются типовыми расчетами по алгебре, предназначенными для студентов специальности «Компьютерная безопасность», а также всем тем в чью программу входят курс «Общая алгебра» и курс «Линейная алгебра». Список приведённых задач охватывает практически все темы систем линейных уравнений и терии линеных пространств. Типовые расчёты выполняются студентами в письменном виде и сдаются преподавателю до начала зачётной сессии. Вопросы к зачётам и экзаменам могут быть уточнены и дополнены лектором.

© МИИТ, 2014

Теоретические вопросы

Типовой расчет №1 охватывает

следующие темы:

1. Определители (см. [2; гл.1, §§ 1-6], [3; гл. 3, §§1, 4.1], [4; гл. I, §§ 2, 3, гл. VI, §§ 1, 2]).

1.1. Свойства определителей. Понятие определителя n -го порядка. Правило Саррюса для n = 2, 3. Основные свойства определителей.

1.2. Разложение определителя по строке и столбцу. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и столбцу и следствие из него. Треугольный и диагональный определители. Определитель Вандермонда. Решение систем по правилу Крамера.

2. Комплексные числа и многочлены (см. [1; §§5.3-5.5]; [2; гл. II §2]; [3; гл.1 §5]).

2.1. Понятие комплексного числа (к.ч.) Определение комплексных чисел и действия с ними. Алгебраическая запись к.ч., его геометрическое изображение. Модуль и аргумент, тригонометрическая форма к.ч. Умножение, деление к.ч. в тригонометрической форме.

2.2. Комплексные числа в показательной форме. Формулы Эйлера, показательная форма к.ч. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа в показательной форме. Сопряжение комплексного числа и его свойства. Формула Муавра.

2.3. Разложение многочленов на множители. Сложение и умножение многочленов. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение многочлена на линейные множители.

3. Алгебра матриц (см. [2; гл. 1 §§ 7, 8]; [3; гл. 3 §2]; [4; гл. V §3]).

3.1. Умножение матриц. Сложение матриц и умножение их на числа. Умножение матриц и его свойства (роль единичной матрицы, дистрибутивность, транспонирование произведения, ассоциативность). Свойства умножения квадратных матриц. Теорема об определителе произведения квадратных матриц.

3.2. Обратная матрица. Определение обратной матрицы и ее свойства (единственность, обратная матрица для произведения). Критерий существования и вычисление обратной матрицы. Решение с ее помощью матричных уравнений и систем линейных уравнений.

4. Линейные пространства (см. [2; гл.II §§3, 4], [3; гл. 4 §1], [4; гл.V §2]).

4.1. Понятие линейного пространства. Аксиомы линейного пространства и следствия из них. Примеры линейных пространств ( ). Линейное подпространство, линейная оболочка системы векторов.

4.2. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Свойства линейной зависимости и независимости. Критерий линейной зависимости. Геометрический смысл линейной зависимости двух и трех геометрических векторов.

4.3. Ранг системы векторов. Определение ранга и базы для системы векторов. Линейная оболочка системы и ее базы, их совпадение. Сохранение ранга системы при добавлении к ней вектора из линейной оболочки. Критерий базы.

4.4. Сохранение ранга системы векторов при элементарных преобразованиях. Взаимосвязь рангов двух систем, когда векторы одной системы линейно выражаются через векторы другой. Элементарные преобразования системы векторов и сохранение ранга системы при их выполнении.

4.5. Базис и размерность линейного пространства. Определение базиса и размерности. Критерий базисности системы векторов (линейная независимость и полнота). Примеры линейных пространств и базисы в них (). Пример бесконечномерного линейного пространства.

4.6. Координаты векторов в базисе. Однозначность разложения вектора по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатах.

4.7. Линейное подпространство и линейная оболочка системы векторов (как подпространство). Базис и размерность линейной оболочки и подпространства. Дополнение базиса подпространства до базиса линейного пространства.

Поиск по сайту: