Теоретические упражнения

Упражнения 1, 4, 5, 6 - для всех вариантов; остальные задачи распределяются преподавателем.

1. Вывести формулу Саррюса для вычисления определителя третьего порядка, исходя из общего определения.

2. Вывести формулы Крамера для решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, опираясь на теорему о разложении определителя по строкам и столбцам.

3. Доказать следующие следствия из аксиом линейного пространства L:

а) единственность противоположного элемента;

б) для любого ;

в) ; для любых ;

г) для любых .

4. Доказать, что линейно зависима всякая система векторов, которая содержит: а) нулевой вектор; б) два равных вектора; в) два пропорциональных вектора; г) линейно зависимую подсистему. Какое из этих утверждений самое общее? Показать, что всякая подсистема линейно независимой системы тоже линейно независима.

5. Найти размерность и указать какой-нибудь базис линейного пространства -всех прямоугольных матриц размера .

6. Доказать, что множество М образует линейное подпространство в пространстве всех прямоугольных матриц данного размера:

№ вар.	М - множество всех матриц указанного вида
1-4, 14, 17, 27-30	а) решения матричного уравнения AX = 0 с данной матрицей А; б) матрицы, перестановочные с данной матрицей А n -го порядка (т.е. AX = XA)
5-7, 15, 16, 24-26	а) матрицы, антиперестановочные с данной матрицей А n -го порядка (т.е. AX = - XA); б) симметричные матрицы n -го порядка (т.е. X T = X)
8, 9, 22, 23	а) кососимметричные матрицы n -го порядка (т. е. X T = - X); б) верхнетреугольные матрицы n -го порядка с нулевым следом
10, 11, 20, 21	а) матрицы n -го порядка с нулевыми суммами элементов вдоль главной и вдоль побочной диагонали; б) матрицы с одинаковыми суммами элементов вдоль любой строки и вдоль любого столбца
12, 13, 18, 19	а) матрицы с нулевыми суммами элементов вдоль любой строки и вдоль любого столбца; б) матрицы с одинаковыми суммами элементов вдоль любой строки

7. Доказать дистрибутивность умножения прямоугольных матриц:

A (B + C) = AB + AC.

8. Доказать свойства транспонирования прямоугольных матриц:

а) (A ^T)^T = A;

б) (AB)^T = B ^T A ^T;

в) A = В×В ^T - симметричная матрица;

г) пусть А, В - симметричные матрицы, тогда

А×В симметрична AB = BA;

д*) любую квадратную матрицу А можно единственным образом представить в виде А = В + С, где В - симметричная матрица, С -кососимметричная матрица.

9. Доказать свойства обратной матрицы:

а) единственность; б) (А^{- 1})^-1 = А; в) (АВ)^-1 = В ^-1 А^{- 1}.

10*. Пусть , - () матрица. След матрицы tr A - это сумма диагональных элементов: trA = a ₁₁ + a ₂₂ +×××+ a _nn .

а) Доказать, что след произведения не зависит от порядка сомножителей:

tr AB = tr BA.

б) Доказать, что не существует матриц А и В таких, что АВ - ВА = Е, где Е - единичная ()-матрица.

11*. Опираясь на теорему о дополнении базиса подпространства до базиса всего пространства, доказать, что для любого подпространства М линейного пространства L существует дополнительное подпространство N, такое, что: а) ; б) dim M + dim N = dim L; в) любой вектор , однозначно представим в виде , где .

Поиск по сайту: