ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Задачи 1–10. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера; б) матричным способом.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задачи 11–20. Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

Задание 1

Решить матричное уравнение относительно неизвестной матрицы Х, если матрицы А, В, С, D, Е имеют вид:

, , , , .

(символом Т обозначена транспонированная матрица)

1. АВ+2С=ЕХ, 6. СВ^Т=2А-Х,

2. D²-3ВА=2Х, 7. (АВ)^Т+С=3Х,

3. (ВА)²=2D^Т-Х, 8. 3DА^Т=В+2Х,

4. СА-3В^Т=2Х, 9. АD^Т+3В^Т=2Х,

5. D^ТВ=2А^Т+2Х, 10. (АВ)²+Х=СВ-Е.

Задание 2.

Доказать совместность системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему двумя способами: а) по формулам Крамера, б) методом последовательного исключения неизвестных (Гаусса).

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

Задание 3.

Даны координаты пирамиды А₁, А₂, А₃, А₄.

Найти:

1. длину ребра А₁, А₂;

2. угол между ребрами А₁, А₂ и А₁, А₄;

3. площадь грани А₁, А₂, А₃;

4. объем пирамиды;

5. уравнение прямой А₁, А₂;

6. уравнение плоскости А₁, А₂, А₃.

Задание 4

Задача 4.

Задача на применение матриц в экономике

Найти общую стоимость сырья, планируемую для производства продукции двух видов и , если план выпуска продукции задан матрицей ; нормы расхода сырья трех типов , , на единицу продукции заданы матрицей и известна стоимость сырья каждого вида – матрица .

4.1. , ,

4.2. , ,

4.3. , ,

4.4. , ,

4.5. , ,

4.6. , ,

4.7. , ,

4.8. , ,

4.9. , ,

4.10. , ,

4.11. , ,

4.12. , ,

4.13. , ,

4.14. , ,

4.15. , ,

4.16. , ,

4.17. , ,

4.18. , ,

4.19. , ,

4.20. , ,

Задача 5.

Даны точки А, В, С, D. Найти координаты и длину вектора ­­ . Построить вектор .

5.1. А(-1,0,2), В(1,2,1), С(3, 7,-1), D(4,6,5),

5.2. А(2,0,-1), В(-1,2,1), С(-1,3,7), D(5,6,4),

5.3. А(2,2,0), В(1,-2,1), С(3,-2,5), D(0,4,-2),

5.4. А(0,-1,2), В(3,1,0), С(-3,0,0), D(4,5,-6),

5.5. А(1,2,3), В(2,-1,0), С(3,0,3), D(7,-2,5),

5.6. А(2,-3,1), В(0,2,2), С(-1,-1,0), D(0,6,0),

5.7. А(0,1,4), В(3,-2,7), С(2,5,-3), D(4,4,0),

5.8. А(3,4,3), В(0,0,1), С(2,7,6), D(5,-1,-2),

5.9. А(4,0,1), В(6,-2,5), С(-3,0,-3), D(7,1,2),

5.10. А(0,2,-3), В(1,-4,-6), С(7,2,2), D(0,5,0),

5.11. А(-1,0,2), В(1,2,1), С(3, 7,-1), D(4,6,5),

5.12. А(2,0,-1), В(-1,2,1), С(-1,3,7), D(5,6,4),

5.13. А(2,2,0), В(1,-2,1), С(3,-2,5), D(0,4,-2),

5.14. А(0,-1,2), В(3,1,0), С(-3,0,0), D(4,5,-6),

5.15. А(1,2,3), В(2,-1,0), С(3,0,3), D(7,-2,5),

5.16. А(2,-3,1), В(0,2,2), С(-1,-1,0), D(0,6,0),

5.17. А(0,1,4), В(3,-2,7), С(2,5,-3), D(4,4,0),

5.18. А(3,4,3), В(0,0,1), С(2,7,6), D(5,-1,-2),

5.19. А(4,0,1), В(6,-2,5), С(-3,0,-3), D(7,1,2),

5.20. А(0,2,-3), В(1,-4,-6), С(7,2,2), D(0,5,0),

Задача 1.

Решить матричное уравнение относительно неизвестной матрицы Х, если А, В, С, D, E -заданные матрицы:

1.9. (A·B)^T - 3·C = X

(A·B)^T - 3·C = X

Задача 2.

Доказать, что данная система линейных уравнений имеет единственное решение. Найти по формулам Крамера. Сделать проверку.

2.9.

Запишем основную и расширенную матрицы для данной системы линейных уравнений, а также столбец свободных членов

Найдем определитель основной матрицы

Так как найденный определитель отличен от нуля, то ранг матрицы А=3

Данный определитель является минором матрицы , rang A=rang =3, система совместна и имеет единственное решение.

Найдем решение системы методом Крамера:

Проверка

Задача 3.

Методом исключения (методом Гаусса) исследовать совместность системы линейных уравнений и найти все ее решения.

3.9.

Решение:

Задача 4.

Задача на применение матриц в экономике

Найти общую стоимость сырья, планируемую для производства продукции двух видов и , если план выпуска продукции задан матрицей ; нормы расхода сырья трех типов , , на единицу продукции заданы матрицей и известна стоимость сырья каждого вида – матрица .

4.9. , ,

Общий расход материала

Общая стоимость заказа

150*1+70*2+140*1=430

Задача 5.

Даны точки А, В, С, D. Найти координаты и длину вектора ­­ . Построить вектор .

5.9. А(4,0,1), В(6,-2,5), С(-3,0,-3), D(7,1,2),

решение:

Вариант 23

1. Перемножить матрицы: .

Решение:

Обозначим матрицы

При умножении матрицы на матрицу действует правило: каждая строка первой матрицы умножается на каждый столбец второй матрицы.

Перемножим первые две матрицы:

Затем результат умножим на третью матрицу:

1. Вычислить определители: а) б) .

Решение

а)

б)

От элементов второго и третьего столбца отнимем элементы первого столбца

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

Решение:

Запишем основную и расширенную матрицы для данной системы линейных уравнений, а также столбец свободных членов

Найдем определитель основной матрицы

Так как найденный определитель отличен от нуля, то ранг матрицы А=3

Данный определитель является минором матрицы , rang A=rang =3, система совместна и имеет единственное решение.

Найдем решение системы методом Крамера:

Б) метод Гаусса

Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем её к треугольному виду:

В) С помощью обратной матрицы

Чтобы найти решение системы, нужно вычислить обратную матрицу для основной матрицы

Вычисляем определитель исходной матрицы:

Найдем обратную матрицу по формуле

=

Теперь, используя найденную обратную матрицу можно найти решение исходной системы:

.

4. Найти общее решение методом Гаусса

Общее решение

Если х3=0 х4=0 х5=0

частное решение

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

.Решение:

Ранг =2

б) методом элементарных преобразований:

Ранг =2

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;2;3), b = (5;1;2), c = (–1;–3;–2), d = (8;0;1).

Векторы линейно независимы и образуют базис.

Найдем координаты вектора d в этом базисе.

7. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (2;3;4), B (–2;0;3), C (–1;2;1), D (2;–1;1).

Решение:

Определим координаты векторов с вершинами в данных точках.

A (2;3;4), B (–2;0;3), C (–1;2;1), D (2;–1;1).

А)Объем пирамиды

Б)Площадь грани находится по формуле:

кв.ед.

г) уравнение прямой АВ,

д) уравнение плоскости АВС,

8. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–6;0) и F ₂(2;0) есть величина постоянная и равна p =10. Сделать чертеж.

Пусть М(х;у)- произвольная точка кривой

Эллипс

(5/4;0) центр

9. Привести уравнение 5 x ²–4 y ²+30 x +8 y +21=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Гипербола, (-3;+1) центр гиперболы

Список литературы

1. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В. И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2012.

2. Высшая математика для экономистов: Учебник для ВУЗов / под. Ред. Н.Ш. Кремер 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2007 – 471с.

3. Натансон И.Л. Краткий курс высшей математики – СПб, 2001

4. Щипачев В.С. Высшая математика: Учебник для ВУЗов, 5-е изд. – М.: Высшая школа, 2002 г.

5. Щипачев В.С. основы высшей математики: Учебное пособие для ВУЗов / под. ред. акад. А.Н. Тихонова, 4-е изд. – М.: Высшая школа, 2002 г.

Поиск по сайту: