|
|||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Задачи 1–10. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера; б) матричным способом.
1.
3.
5.
7.
9.
Задачи 11–20. Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное.
11.
13.
15.
17.
19. Задание 1 Решить матричное уравнение относительно неизвестной матрицы Х, если матрицы А, В, С, D, Е имеют вид:
(символом Т обозначена транспонированная матрица)
1. АВ+2С=ЕХ, 6. СВТ=2А-Х, 2. D2-3ВА=2Х, 7. (АВ)Т+С=3Х, 3. (ВА)2=2DТ-Х, 8. 3DАТ=В+2Х, 4. СА-3ВТ=2Х, 9. АDТ+3ВТ=2Х, 5. DТВ=2АТ+2Х, 10. (АВ)2+Х=СВ-Е.
Задание 2. Доказать совместность системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему двумя способами: а) по формулам Крамера, б) методом последовательного исключения неизвестных (Гаусса).
1. 4. 7. 10.
Задание 3. Даны координаты пирамиды А1, А2, А3, А4. Найти: 1. длину ребра А1, А2; 2. угол между ребрами А1, А2 и А1, А4; 3. площадь грани А1, А2, А3; 4. объем пирамиды; 5. уравнение прямой А1, А2; 6. уравнение плоскости А1, А2, А3. Задание 4 Задача 4. Задача на применение матриц в экономике Найти общую стоимость сырья, планируемую для производства продукции двух видов 4.1. 4.2. 4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
Задача 5. Даны точки А, В, С, D. Найти координаты и длину вектора 5.1. А(-1,0,2), В(1,2,1), С(3, 7,-1), D(4,6,5), 5.2. А(2,0,-1), В(-1,2,1), С(-1,3,7), D(5,6,4), 5.3. А(2,2,0), В(1,-2,1), С(3,-2,5), D(0,4,-2), 5.4. А(0,-1,2), В(3,1,0), С(-3,0,0), D(4,5,-6), 5.5. А(1,2,3), В(2,-1,0), С(3,0,3), D(7,-2,5), 5.6. А(2,-3,1), В(0,2,2), С(-1,-1,0), D(0,6,0), 5.7. А(0,1,4), В(3,-2,7), С(2,5,-3), D(4,4,0), 5.8. А(3,4,3), В(0,0,1), С(2,7,6), D(5,-1,-2), 5.9. А(4,0,1), В(6,-2,5), С(-3,0,-3), D(7,1,2), 5.10. А(0,2,-3), В(1,-4,-6), С(7,2,2), D(0,5,0), 5.11. А(-1,0,2), В(1,2,1), С(3, 7,-1), D(4,6,5), 5.12. А(2,0,-1), В(-1,2,1), С(-1,3,7), D(5,6,4), 5.13. А(2,2,0), В(1,-2,1), С(3,-2,5), D(0,4,-2), 5.14. А(0,-1,2), В(3,1,0), С(-3,0,0), D(4,5,-6), 5.15. А(1,2,3), В(2,-1,0), С(3,0,3), D(7,-2,5), 5.16. А(2,-3,1), В(0,2,2), С(-1,-1,0), D(0,6,0), 5.17. А(0,1,4), В(3,-2,7), С(2,5,-3), D(4,4,0), 5.18. А(3,4,3), В(0,0,1), С(2,7,6), D(5,-1,-2), 5.19. А(4,0,1), В(6,-2,5), С(-3,0,-3), D(7,1,2), 5.20. А(0,2,-3), В(1,-4,-6), С(7,2,2), D(0,5,0),
Задача 1. Решить матричное уравнение относительно неизвестной матрицы Х, если А, В, С, D, E -заданные матрицы: 1.9. (A·B)T - 3·C = X
(A·B)T - 3·C = X
Задача 2. Доказать, что данная система линейных уравнений имеет единственное решение. Найти по формулам Крамера. Сделать проверку. 2.9.
Запишем основную и расширенную матрицы для данной системы линейных уравнений, а также столбец свободных членов
Найдем определитель основной матрицы Так как найденный определитель отличен от нуля, то ранг матрицы А=3 Данный определитель является минором матрицы Найдем решение системы методом Крамера:
Проверка
Задача 3. Методом исключения (методом Гаусса) исследовать совместность системы линейных уравнений и найти все ее решения. 3.9.
Решение:
Задача 4. Задача на применение матриц в экономике Найти общую стоимость сырья, планируемую для производства продукции двух видов 4.9.
Общий расход материала Общая стоимость заказа 150*1+70*2+140*1=430
Задача 5. Даны точки А, В, С, D. Найти координаты и длину вектора 5.9. А(4,0,1), В(6,-2,5), С(-3,0,-3), D(7,1,2), решение:
Вариант 23
Решение: Обозначим матрицы
При умножении матрицы на матрицу действует правило: каждая строка первой матрицы умножается на каждый столбец второй матрицы. Перемножим первые две матрицы: Затем результат умножим на третью матрицу:
Решение а) б)
3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса. Решение: Запишем основную и расширенную матрицы для данной системы линейных уравнений, а также столбец свободных членов
Найдем определитель основной матрицы
Данный определитель является минором матрицы Найдем решение системы методом Крамера:
Б) метод Гаусса Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем её к треугольному виду:
В) С помощью обратной матрицы Чтобы найти решение системы, нужно вычислить обратную матрицу для основной матрицы Вычисляем определитель исходной матрицы:
Теперь, используя найденную обратную матрицу можно найти решение исходной системы:
4. Найти общее решение методом Гаусса
Если х3=0 х4=0 х5=0
5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:
.Решение:
Ранг =2 б) методом элементарных преобразований: Ранг =2
6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;2;3), b = (5;1;2), c = (–1;–3;–2), d = (8;0;1).
Векторы линейно независимы и образуют базис. Найдем координаты вектора d в этом базисе.
7. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (2;3;4), B (–2;0;3), C (–1;2;1), D (2;–1;1).
Решение: Определим координаты векторов с вершинами в данных точках. A (2;3;4), B (–2;0;3), C (–1;2;1), D (2;–1;1).
А)Объем пирамиды Б)Площадь грани находится по формуле:
г) уравнение прямой АВ,
д) уравнение плоскости АВС,
8. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F 1(–6;0) и F 2(2;0) есть величина постоянная и равна p =10. Сделать чертеж. Пусть М(х;у)- произвольная точка кривой Эллипс
9. Привести уравнение 5 x 2–4 y 2+30 x +8 y +21=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж. Гипербола, (-3;+1) центр гиперболы
Список литературы 1. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В. И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2012. 2. Высшая математика для экономистов: Учебник для ВУЗов / под. Ред. Н.Ш. Кремер 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2007 – 471с. 3. Натансон И.Л. Краткий курс высшей математики – СПб, 2001 4. Щипачев В.С. Высшая математика: Учебник для ВУЗов, 5-е изд. – М.: Высшая школа, 2002 г. 5. Щипачев В.С. основы высшей математики: Учебное пособие для ВУЗов / под. ред. акад. А.Н. Тихонова, 4-е изд. – М.: Высшая школа, 2002 г.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.069 сек.) |