Метод Гаусса. Определение 9. Две системы уравнений называются равносильными, если эти системы имеют одни и те же решения

Определение 9. Две системы уравнений называются равносильными, если эти системы имеют одни и те же решения.

При решении системы уравнений обычно заменяют данную систему другой, более простой или по каким-либо причинам более «удобной», но равносильной первоначальной. Решая эту более простую систему, находят решение исходной.

Из школьного курса математики известно, что при замене системы линейных уравнений равносильной, можно проводить следующие операции:

1) переставлять уравнения, входящие в систему;

2) умножать любое уравнение системы на любое число , не равное нулю;

3) прибавлять к любому уравнению системы другое уравнение, умноженное на любое число , не равное нулю.

Одним из методов решения систем линейных уравнений является метод исключения неизвестных. Состоит он в том, что с помощью перечисленных выше операций из системы исключаются все переменные, кроме одной, и система приводится к одному уравнению, содержащему одну неизвестную, то есть к уравнению вида

.

При решении этого уравнения возможны три случая:

1) Если , уравнение имеет единственное решение .

2) Если а=0 и b=0, уравнение, а следовательно, и система имеют бесконечно много решений, так как любое число удовлетворяет уравнению .

3) Если а=0, но , уравнение, а следовательно, и система решений не имеют, так как при подстановке в уравнение вместо любого числа в левой части получается нуль, в то время как правая часть отлична от нуля.

Метод Гаусса состоит в следующем. Для системы выписывают расширенную матрицу системы и приводят ее к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований над строками (и только над ними) матрицы. По виду полученной трапециевидной матрицы делают вывод о совместности или несовместности системы. В случае совместности выписывают систему уравнений, соответствующую трапециевидной матрице (она будет равносильна исходной), и затем, решая ее, находят решение исходной системы.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Исследовать и решить систему уравнений:

Выпишем расширенную матрицу системы:

Умножая первую строку матрицы В на 1 и вычитая из второй, получим

Умножая теперь вторую строку на 3 и складывая с третьей, получаем

И, наконец, умножая третью строку на 5 и складывая с четвертой, получим

Смотрим на последнюю строку, ей соответствует уравнение , где .

Из вида последней матрицы вытекает, что в этом случае система совместная и определенная (имеет единственное решение). Для нахождения решения выпишем систему, соответствующую последней матрице:

Решение этой системы легко находится, оно имеет вид

Пример 2. Исследовать и решить систему уравнений:

Составляем расширенную матрицу системы:

С помощью элементарных преобразований (как и в предыдущем случае) приводим матрицу В к виду

Последним двум строкам соответствуют уравнения вида

.

По виду этой матрицы заключаем, что система совместная и неопределенная (имеет бесконечно много решений). Система, соответствующая полученной матрице, имеет вид

.

Так как эта система состоит из двух уравнений, но содержит три переменные, одну из переменных можно выбрать произвольно, например, положить х₃. Перенося слагаемые с х₃ в правую часть, получим систему

.

Решая ее, находим: .

Итак, все множество решений исходной системы уравнений можно представить в виде

, ,

где х₃ – любое действительное число.

Общим решением СЛАУ называется такая запись СЛАУ, в которой часть ее переменных, называемых базисными, выражены через оставшиеся переменные, называемые свободными. В данном примере переменные х₁ и х₂ – базисные, а х₃ – свободная. И запись

называется общим решением системы.

Частные решения получаются из общего, если задать произвольно свободные переменные. Например, если , то Это частное решение системы.

Базисным решением СЛАУ называют такое частное решение, при котором свободные переменные равны нулю. Например, если , то Это базисное решение СЛАУ.

Пример 3. Исследовать и решить систему уравнений

Расширенная матрица этой системы имеет вид

Приводя матрицу к трапециевидному виду, получим

В последней строке . По виду этой матрицы заключаем, что система несовместна (решений не имеет). Это легко обнаруживается визуально: уравнение, соответствующее последней строке, противоречиво:

Поиск по сайту: