Отделение корней. Первый этап численного решения уравнения состоит в отделении корней, т.е

Первый этап численного решения уравнения состоит в отделении корней, т.е. установлении «тесных» промежутков, содержащих только один корень. Во многих случаях отделение корней можно произвести графически, например с использованием автоматизированной системы программирования MathCAD. Действительные корни уравнения (1.1) - это точки пересечения графика функции с осью абсцисс, достаточно построить график и отметить на оси отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1.1) равносильным ему уравнением

(1.2).

В этом случае строятся графики функций , а потом на оси отмечаются отрезки, содержащие абсциссы точек пересечения этих графиков. При этом графическое отделение корней следует подкрепить вычислениями, используя следующие известные положения:

1) если непрерывная на отрезке функция принимает на его концах значения разных знаков, т.е. , то уравнение имеет на этом отрезке по крайней мере один корень.

2) если функция строго монотонна, то корень на отрезке единственный.

Пример 1

Для графического отделения корней уравнения можно построить график функции (см. рис. 1) и убедиться, что корень находится на отрезке . Однако для этого уравнения выгодно отдельно построить графики функций и (рисунок 2) и определить отрезок, содержащие абсциссу точки пересечения этих графиков. Вычислим значения функции на концах интервала : ; . Первая и вторая производные на концах интервала сохраняют свои знаки: , , , , следовательно, корень на отрезке единственный.

Поиск по сайту: