Метод простой итерации

Заменим уравнение (1.1) равносильным ему уравнением

(1.3)

Выберем - начальное приближение к корню, подставляя его в правую часть уравнения (1.3), получим следующее приближение к корню . Теперь проделаем тоже самое с , получим и т.д. Вычисляя , при получим итерационную последовательность Основной вопрос, который необходимо выяснить: сходится ли итерационная последовательность к решению уравнения? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть на отрезке имеется один корень уравнения и во всех точках этого отрезка производная удовлетворяет неравенству . Если при этом выполняется условие , то итерационный процесс сходится, а за нулевое приближение, можно взять любое число из интервала . Это достаточные условия сходимости, т.е. существуют функции, для которых эти условия не выполняются, но, тем не менее итерационный процесс сходится.

Как следует из теоремы, при выполнении ее условий, итерационный процесс сходится при любом начальном приближении . Следовательно, полученное в итерационном процессе n -ое приближение при желании можно считать начальным. Это означает, что если в процессе вычисления приближений допускались ошибки, то они не влияют на окончательный результат. Это свойство делает метод самым надежным.

Рассмотрим геометрическое представление процесса.

При решении уравнения (1.3.) отыскивается точка пересечения кривой и прямой . Функция может быть какой угодно, но важно, чтобы выполнялось условие . Пусть - это корень уравнения, а - некоторое начальное приближение. На рисунке 5 изображен данный случай сходящейся последовательности.

Рассмотрим другую кривую , когда производная отрицательна и по модулю меньше единицы, т. е. и . Данный случай сходящейся последовательности изображен на рисунке 6.

И, наконец, рассмотрим случай расходящейся последовательности, т.е. когда производная функции (рисунок 7.). В данном случае каждое последующее приближение отстоит дальше от истинного значения корня, чем предыдущее.

Итак, если , то процесс сходится, если же , то итерационный процесс расходится. Отметим, что неравенства должны выполняться для всех значений , вычисляемых в ходе решения задачи.

Рассмотрим теперь вопрос об определении точности в вычисленных приближенных значений корня. Пусть - точное значение корня уравнения (1.3). Тогда для абсолютной ошибки приближения , справедливо соотношение (см. [5]). Если поставить условие, что истинное значение корня должно отличаться от приближенного на величину , т.е., , то приближения вычисляем до тех пор, пока не будет выполнено следующее неравенство: .

Для метода простой итерации на рисунке 8. приведена блок – схема алгоритма решения уравнения .

Поиск по сайту: