Метод Ньютона (касательных). Пусть корень уравнения (1.1) отделен на отрезке , причем и непрер

Пусть корень уравнения (1.1) отделен на отрезке , причем и непрерывны и сохраняют знаки на всем отрезке . Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой заменяется касательной к этой кривой и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс, которая и берется в качестве следующего приближения к решению уравнения (1.1).

Предположим, для определенности, что возрастает и выпукла вверх, и , , что соответствует рисунку 14.

Интуитивно ясно, если провести касательную к кривой в точке , то она пересечет ось абсцисс в точке, не принадлежащей . Поэтому проведем касательную к кривой в точке , т.е. за начальное приближение к корню возьмем левый конец интервала . Найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью , получим . Корень теперь находится на отрезке . Применяя снова метод Ньютона, проведем касательную в точке , получим и т.д. . Получили последовательность приближенных значений , каждый последующий член которой ближе к истинному значению корня, чем предыдущий.

Рассмотрим случай, когда функция убывает и выпукла вниз, и , , что соответствует рисунку 15. Ясно, если провести касательную к кривой в точке , то она пересечет ось абсцисс в точке, не принадлежащей . Поэтому проведем касательную к кривой в точке , т.е. за начальное приближение к корню возьмем левый конец интервала .

Предположим, что возрастает и выпукла вниз, и , , что соответствует рисунку 16. В данном случае за нулевое приближение к корню следует выбрать правый конец интервала , т.е. .

Рассмотрим случай, когда функция убывает и выпукла вверх, и , , что соответствует рисунку 17. Ясно, если провести касательную к кривой в точке , то она пересечет ось абсцисс в точке, не принадлежащей . Поэтому проведем касательную к кривой в точке , т.е. за начальное приближение к корню возьмем левый конец интервала .

Итак, существует общее правило: за исходную точку следует выбирать тот конец отрезка , в котором знак функции совпадает со знаком второй производной. Метод Ньютона эффективен для решения тех уравнений, для которых значение модуля производной достаточно велико, т.е. график функции в окрестности корня имеет большую крутизну. Для условия окончания итерационного процесса может быть использовано условие или условие близости двух соседних приближений:

, где , .(см. [11]).

На рисунке 18 изображена схема алгоритма уточнения одного корня уравнения (1.1) на отрезке методом Ньютона до заданной степени точности .

При оценке эффективности численных методов существенное значении имеют следующие свойства:

· универсальность

· простота организации вычислительного процесса

· скорость сходимости.

С этой точки зрения, наиболее универсальным является метод половинного деления, поскольку он требует только непрерывности функции .

С точки зрения организации вычислительного процесса все методы очень просты.

Наибольшей скоростью сходимости обладает метод Ньютона.

Поиск по сайту: