АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Метод хорд. Пусть уравнение (1.1) имеет на отрезке один корень, а функция на этом отрезке непрерывна

Читайте также:
  1. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  2. FAST (Методика быстрого анализа решения)
  3. I этап Подготовка к развитию грудобрюшного типа дыхания по традиционной методике
  4. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  5. I. 3.2. Двойственный симплекс-метод.
  6. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  7. I. Метод рассмотрения остатков от деления.
  8. I. Методические основы
  9. I. Методические основы оценки эффективности инвестиционных проектов
  10. I. Организационно-методический раздел
  11. I. Предмет и метод теоретической экономики
  12. I. Что изучает экономика. Предмет и метод экономики.

Пусть уравнение (1.1) имеет на отрезке один корень, а функция на этом отрезке непрерывна. Пусть для определенности функция возрастает и выпукла вверх, причем и , , что соответствует рисунку 9.

Геометрический смысл метода хорд состоит в том, что дуга кривой заменяется хордой и ищется точка пересечения хорды с осью абсцисс, которая и берется в качестве следующего приближения к решению.

Из рисунка видно, что левый конец интервала остается неподвижным, а правый конец выбран в качестве начального приближения к корню: , . Из уравнения прямой, проведенной через точки и получим значение , равное абсциссе точки пересечения хорды с осью абсцисс. Корень теперь находится на отрезке . Применяя снова метод хорд, проведем прямую через точки и , получим и т.д. . Получаем последовательность приближенных значений , каждый последующий член которой ближе к истинному значению корня, чем предыдущий. Рассмотрим случай, когда функция возрастает и выпукла вниз, и , , что соответствует рисунку 10.

В данном случае правый конец интервала остается неподвижным, а левый конец выбран в качестве начального приближения к корню: , . Заметим, что за начальное приближение к корню выбирается тот конец интервала, где функция и вторая производная имеют значения разных знаков, а другой конец, где функция и вторая производная имеют одинаковые знаки остается неподвижным.

Рассмотрим случай, когда функция убывает и выпукла вверх, и , , что соответствует рисунку 11. В данном случае правый конец интервала остается неподвижным, а левый конец выбран в качестве начального приближения к корню: , .

Возможен случай, когда функция убывает и выпукла вниз, и , , что соответствует рисунку 12. В данном случае левый конец интервала остается неподвижным, а правый конец выбран в качестве начального приближения к корню: , .

Итак, если функция непрерывна, а вторая производная сохраняет свой знак на отрезке , то уравнение имеет единственный корень, а последовательность монотонно к нему сходится. В качестве нулевого приближения к корню выбирается тот конец интервала, где функция и вторая производная имеют значения разных знаков, , а другой конец, где функция и вторая производная имеют одинаковые знаки остается неподвижным. .

На рисунке 13 изображена блок -схема алгоритма уточнения одного корня уравнения (1.1) на отрезке до заданной степени точности методом хорд.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.744 сек.)